Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (, ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через 040101000009005100формулу Эйлера:

где — расширение 001000050100экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

 

37.

38.

Понятие "степень комплексного числа" в силу определения операции умножения (23) вводится аналогично обычному алгебраическому, т. е. под степенью числа понимается -кратное повторение умножения:

(13)

и тогда на основе этого определения можно расширить свойства комплексной экспоненты, рассмотренные в 3-3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."примере HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."1HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."-HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."3HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22.".

Пример 1-4. Показать, что .

Решение. Из (413) и с помощью свойства 2 из 3-3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"Примера HYPERLINK "3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"1HYPERLINK "3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"-HYPERLINK "3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"3 получим

Переход к комплексным числам в показательной форме оказывается очень удобным приемом в случае преобразований тригонометрических функций.

Пример 1-5. Доказать, что является алгебраическим многочленом степени (полином Чебышева первого рода), и получить явные выражения для c .

Решение. Из 3формулы Эйлера

и, следовательно:

Учитывая свойства функции и применяя формулу Эйлера еще раз, получим

Раскрывая степень с помощью формулы бинома Ньютона, имеем

где - биномиальные коэффициенты. Из последнего выражения видно, что слагаемые с четными будут действительными величинами, которые являются целыми степенями , максимальная из которых равна . Переобозначая индекс суммирования как , можно получить действительное выражение для в виде

(14)

где символ означает целую часть , и частные случаи для соответственно запишутся в следующем виде:

Отметим, что формула (414) для полиномов Чебышева может быть переписана как формула Муавра. Действительно, обозначая , получим , и тогда из (414):

Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число, которое обозначается как , такое, что его -я степень равна . Операция извлечения корней, таким образом, является обратной к возведению в степень. Способ нахождения корня можно описать следующим образом:

(15)

Пример 1-6. Вычислить все значения следующих корней:

1. 2. 3. .