Параграф 5. Непрерывная случайная величина

 

Дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятности непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения:

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Свойство 1. Плотность вероятности неотрицательная функция:

Доказательство.

как производная монотонно неубывающей функции .

Свойство доказано.

Свойство 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал от до включительно равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от до :

Доказательство.

Согласно свойству 3 функции распределения:

Так как есть первообразная для плотности вероятности , то по формуле Ньютона-Лейбница приращение первообразной на отрезке от до включительно есть определенный интеграл .

Свойство доказано.

Свойство 3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

Доказательство.

Свойство доказано.

Свойство 4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

Доказательство.

Свойство доказано.

Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины называется величина несобственного интеграла:

– математическое ожидание непрерывной случайной величины ;

– плотность непрерывной случайной величины ;

– возможное значение дискретной случайной величины .

Дисперсией или разбросом непрерывной случайной величины называется величина несобственного интеграла:

Все свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Пример 1.