Критерий Пирсона (сравнение двух эмпирических распределений)

Критерий применяется в 2-х случаях: 1) для сопоставления эмпирического распределения признака теоритическому; 2) для сопоставления 2х или более эмпирических распределений одного и того же признака. Критерий построен так, что при полном совпадении экспериментального и теоритического (или 2х экспериментальных) распределений величина = 0 и чем больше расхождение между распределениями, тем больше величина .

Основная расчётная формула критерия выглядит так: = ∑

f - частота

Расчётная формула для сравнения 2-х эмпирических распределений выглядит так: = ∙

и - числа элементов, составляющих первую и вторую выборки. Они могут совпадать, а могут и не совпадать.

Если при расчёте критерия данные даются в виде таблицы, то число степеней свободы находится по формуле: = (k - 1) (c - 1); k - кол-во строк, c - столбцов

На практике значительно чаще встречаются задачи, в которых необходимо сравнивать не экспериментальное с теоритическим, а 2 экспериментальных распределения.

Рассмотрим следующий пример.

Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в 2-х школах, если в 1-й школе из 100 человек поступили в ВУЗ 82 человека, а во 2-й из 87 - 44?

Представим данные задачи в виде четырёхпольной таблицы, ячейки которой будет обозначать буквами A, B, C, D.

 

	1 школа	2 школа
Число поступивших	А 82	В 44
Число не поступивших	С 18	D 43
∑

 

Теоритические частоты в подобных случаях вычисляются на основе эмпирических разными способами в зависимости от типа решаемой задачи. Важно сразу определить, что будем считать долей признака. Из таблицы видно, что 18 и 43 чел-ка соответственно из1й и 2й школ не поступили в ВУЗ. Относительно этих величин подсчитаем так называемую долю признака непоступаимости. P = =(примерно) 0,33

Теперь подсчиатем сколько учащихся из каждой школы теоритически не должны были поступить в ВУЗ. = 0,33 · 100 = 33; = 0,33 ∙ 87 = 8,71

Теперь понятно, как подсчитать число теоритически поступивших. = 100 - 33 = 67; = 87 - 28,71 = 58, 29

	1школа	2школа
Число поступивших	= 67	= 58,29
Число не поступивших	= 33	= 28, 71
∑

 

= + + + = 20,9

 

= (2 - 1) (2 - 1) = 1

= 3, 84 α = 0,05

6, 64 α = 0,01

 

Таким образом, нужно применить гипотезу о наличии различий между двумя эмпирическими распределениями. Т.о. ур-нь подготовки в 2-х школах оказался различным.

Преимущества критерия заключ-ся в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков в любой шкале, начиная со шкалы наименоаний.