Совместные измерения

Если некоторая физическая величина y зависит от другой величины, то эту зависимость можно установить, измеряя при различных значениях x. В результате измерений получается ряд значений:

x₁, x₂,..., x_i,,..., x_n;

y₁, y₂,..., y_i,,..., y_n.

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов, разработанный Ж.Лежандром ещё в 1806 г.

Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую (рисунок 6).

y

0 x

Рисунок 6 – Кривая экспериментальных точек.

Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. [y_i – ƒ(x_i)]² была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости (рисунок 7), т.е. когда

y = kx или y = a + bx. (15.1)

Рисунок 7 – Линейная аппроксимация результатов измерения.

Линейная зависимость очень широко распространена в разных областях науки и техники. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например: показатель преломления стекла n связан с длиной λ; световой волны соотношением n = a + b/λ². При этом на графике строят зависимость n от λ^-2. Мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату амплитуды сигнала и т.д.

Возможен и другой подход – кусочно-линейная аппроксимация кривой, т.е.замена кривой отрезками прямых (рисунок 8).

y

X

 

Рисунок 8 – Кусочно – линейная аппроксимация кривой.

 

Итак, чаще всего при совместных измерениях приходится иметь дело с линейными зависимостями или всё сводят к линейным зависимостям. На них и остановимся.

Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ; – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

. (15.2)

Величина φ; всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ;имеет минимум

(15.3)
или
(15.4)

Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x_i, y_i найти наилучшие значения a и b.

Снова составим квадратичную форму φ;, равную сумме квадратов отклонений точек x_i, y_i от прямой

(15.5)

и найдем значения a и b, при которых φ; имеет минимум из решения системы уравнений:

;(15.6)

.

.Совместное решение этих уравнений даёт

. (15.7)

Среднеквадратические погрешности определения a и b равны:

(15.8)

(15.9)

Следует отметить, что при совместных измерениях часто ограничиваются именно среднеквадратическими погрешностями. Но в отдельных случаях требуются более «жёсткие» вероятностные гарантии нахождения коэффициентов « a» и « b». Тогда их определяют с учётом доверительной вероятности, используя коэффициенты Стьюдента( t ). При этом результаты исследования записываются в виде: a Δa; b Δb д ля Р=…, где Δa = tS_a,

Δb = tS_b.

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (15.6)–(15.10). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемом ниже примере.

Пример. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

R_t = R₀(1 + α t°) = R₀ + R₀ α t°.

Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C, а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 6).

Таблица 6 – Результаты измерений и расчетов.

n	t°, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r - bt - a)2,10-6
		1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
		1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
		1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
		1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
		1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
		1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑		8.403	–	8166.833	21.5985	–	746.804
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

По формулам (15.7) определяем

,

R₀ = ¯R- α R₀¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом.

Отсюда:

.

Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (15.9) имеем:

.

Пользуясь формулами (15.8), (15.9) имеем

;

= 0.014126 Ом.

Тогда

.

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице(7.1) коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.571 и определяем абсолютную ошибку

Δα = 2.571 · 0.000132 = 0.000338 град^-1.

α = (23 ± 4) · 10^-4 град ^-1 для P = 0.95.

.