График плотности распределения называется кривой распределения.

Свойства плотности распределения.

 

5. Если между двумя случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость Y=φ(Х), то взаимосвязь между плотностями распределения р(х) и р(у) задается формулой

 

Действительно, пусть с ростом Х растет Y. Тогда F(x)=F(y)=F(φ(x)) (см. свойства функции распределения). По правилу дифференцирования сложной функции находим

 

или, поскольку y = φ(x),

В случае, если с ростом Х величина Y убывает, первая производная dy/dx < 0, но плотность p(x) > 0. Поэтому в общем случае первая производная берется по абсолютной величине.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Из равенства функций распределения F(x) = F(lnx) требуется найти соотношение между плотностями p(x) и p(lnx).

Дифференцируя последнее равенство по x, имеем:

 

откуда xp(x) = p(lnx).

Пример 2. Задана плотность распределения (показательный закон)

.

Найти: N – нормирующий множитель; F (x) – функцию распределения; вероятность попадания случайной величины Х на интервал 3< x <5.

Используем свойства плотности:

.

Отсюда N = a, т.е.

.

Далее функция распределения равна

.

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал равна

.

Пусть далее некоторая случайная величина Y связана со случайной величиной Х зависимостью Y= 1 /X.

Найдем функцию распределения F(y) и плотность р(у).

Так как здесь с ростом Х величина Y убывает, то

.

Но Х= 1 /Y, поэтому

.

Отсюда плотность р(у) равна

.

Плотность р(у) можно найти непосредственно по плотности р(х).

Поскольку Х= 1 /Y, dх/dy=– 1 /y ², то

.