График плотности распределения называется кривой распределения.
Свойства плотности распределения.
5. Если между двумя случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость Y=φ(Х), то взаимосвязь между плотностями распределения р(х) и р(у) задается формулой
Действительно, пусть с ростом Х растет Y. Тогда F(x)=F(y)=F(φ(x)) (см. свойства функции распределения). По правилу дифференцирования сложной функции находим
или, поскольку y = φ(x),
В случае, если с ростом Х величина Y убывает, первая производная dy/dx < 0, но плотность p(x) > 0. Поэтому в общем случае первая производная берется по абсолютной величине. Рассмотрим примеры. Пример 1. Из равенства функций распределения F(x) = F(lnx) требуется найти соотношение между плотностями p(x) и p(lnx). Дифференцируя последнее равенство по x, имеем:
откуда xp(x) = p(lnx). Пример 2. Задана плотность распределения (показательный закон)
Найти: N – нормирующий множитель; F (x) – функцию распределения; вероятность попадания случайной величины Х на интервал 3< x <5. Используем свойства плотности:
Отсюда N = a, т.е.
Далее функция распределения равна
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал равна
Пусть далее некоторая случайная величина Y связана со случайной величиной Х зависимостью Y= 1 /X. Найдем функцию распределения F(y) и плотность р(у). Так как здесь с ростом Х величина Y убывает, то
Но Х= 1 /Y, поэтому
Отсюда плотность р(у) равна
Плотность р(у) можно найти непосредственно по плотности р(х). Поскольку Х= 1 /Y, dх/dy=– 1 /y 2, то
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
