Теорема гипотез (формула Бейеса)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н ₁ ,…,Н_n, при этом вероятности их равны Р(Н_i).

Кроме того, известны вероятности некоторого события А, которое может произойти совместно с каждой гипотезой.

Пусть в результате опыта наступило событие А.

Тогда распределение условных вероятностей гипотез при наступлении события А задается формулой Бейеса

.

Рассмотрим пример на формулу полной вероятности и формулу Бейеса, позаимствованный из [3].

Три станка выпускают одинаковые детали (см. табл.).

№ станка	Дневная выработка (деталей)	Вероятность гипотезы	% брака	Вероятность брака
	m 1=600	P(H1)= 0,6		P1=P(A/H1)= 0,03
	m 2=100	P(H2)= 0,1		P2=P(A/H2) =0,05
	m 3=300	P(H3)= 0,3		P3=P(A/H3)= 0,10

На складе продукция трех станков смешивается. Далее выбирается случайным образом одна деталь.

Требуется:

а) найти вероятность того, что она бракованная.

Здесь используется формула полной вероятности.

Вероятности гипотез равны (см. табл.):

Вероятности брака при каждой гипотезе равны:

.

Тогда

.

Формула полной вероятности в данном примере определяет средневзвешенную вероятность брака по трем станкам. Действительно, записав ее в более простом виде, находим

.

б) Найти вероятность того, что случайно отобранная деталь, оказавшаяся бракованной, выпущена первым станком.

По формуле Бейеса находим

.

Формула Бейеса в данном примере определяет долю бракованных изделий (в общем объеме брака), изготовленных одним i -м станком.

.

То же для других станков

.