Понятие об уклонениях отвесных линий

 

Изучение фигуры Земли тесно связано с уклонениями отвесных линий. Это явление вызвано отличием действительного гравитационного поля земли от нормального. Под нормальным полем Земли понимается гравитационное поле, создаваемое эллипсоидом вращения с равномерной плотностью масс. Существует два метода вывода уклонений отвесных линий: астрономо-геодезический и гравиметрический. Возможно сочетание этих методов. Рассмотрим первый из них.

Пусть в точке М местности (рис. 1) направление нормали к эллипсоиду обозначено через g, а направление отвесной линии через g.

Угол U между этими направлениями называется полным уклонением отвесной линии. Это уклонение разлагается на две составляющие - по меридиану и по первому вертикалу. Для их вывода очертим вокруг точки М сферу и обозначим на ней точки: полюса Р, пересечения с ней отвесной линии Z_А и пересечения нормали Z_г. Точки Z_А и Z_г являются точками астрономического и геодезического зенитов.

РИС. 1

Опустим перпендикуляр с точки Z_А на дугу PZ_Г и получим точку N. Угол в точке Р будет L - l, где

L - долгота меридиана дуги PZ_Г, а

l - долгота меридиана дуги РZ_А.

Дуга РZ_А равна 90°-j, а PZ_Г-(90°-B). Из прямоугольного сферического треугольника РZ_АN можно записать:

РN=(90°-j)*cos(L - l) (1)

Поскольку N лежит на меридиане, то составляющая уклонения на меридиане будет

NZ_Г=PZ_Г - PN

NZ_A=(90°-B)-(90°-j)*cos(L-l) (2)

Угол (L-l) мал, поэтому с достаточной для практических целей точностью можно записать:

NZ_A=(90°-B)-(90°-j)=j-B (3)

Обычно NZ_А обозначают через x, и тогда:

x=j-B (4)

Найдем теперь проекцию уклонения на первый вертикал, то есть дугу NZ_А.

Из теоремы синусов следует, что:

(5)

Обозначая NZ_А через h запишем:

(6)

Тогда:

sinh= cosj*sin(L-l) (7)

 

§2.Суть гравиметрического метода заключается в следующем:

 

Введем в точке М систему координат, в которой ось Z направлена в зенит и совпадает с направлением нормали к эллипсоиду. Ось x направлена вдоль меридиана на север, а ось y вдоль первого вертикала.

РИС. 2

Направление вектора силы тяжести g разложим на три составляющие: g_x, g_y и g_z. Тогда составляющие уклонения отвесных линий можно найти из следующих выражений:

(8)

(9)

Выразим составляющие:gx, gy и gz через потенциал силы тяжести. Известно, что сила, действующая вдоль определенного направления равна производной потенциала по этому направлению, то есть:

(10)

где: X - расстояние между притягивающим и притягиваемым телами. Тогда очевидно, что в пространственной системе координат:

(11)

(12)

(13)

Выразим потенциал силы тяжести W через потенциал эллипсоида U и его отклонение T от потенциала силы тяжести, то есть запишем: W=U+T, (14)

Величину T ещё называют возмущающим потенциалом, а U - нормальным потенциалом.

Тогда очевидно, что

(15)

(16)

(17)

тогда:

(18)

(19)

обозначая: dx=RdB

dy=RcosBdL

получим:

(20)

(21)