Система третьего порядка

Запишем уравнение автономной системы третьего порядка

.

 

Все корни характеристического уравнения действительны и различны.

 

.

Картину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях, натянутых на пары собственных векторов. Этот случай уже изучен выше.

а)

В плоскостях , , , имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя так и называется – устойчивый узел.

б) В плоскостях , , , имеем неустойчивые узлы. Такая точка покоя называется – неустойчивый узел.

а) б)

 

в) один корень имеет знак, противоположный остальным двум корням. Точка покоя в этом случае называется седло – узел и является неустойчивой точкой покоя.

Пусть, например, . Тогда в плоскости имеем неустойчивый узел, а в плоскостях , - седла. Если , то в плоскости имеем устойчивый узел, а в плоскостях , - седла.

 

.

 

Заметим, что в ситуациях узлов и седла – узел траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.

 

2) - действительный корень характеристического уравнения, - комплексно сопряженная пара корней.

Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.

В плоскости имеем фокус, устойчивый при , неустойчивый при .

а) . Такая точка покоя называется устойчивый фокус.

б) . Такая точка покоя называется неустойчивый фокус.

 

в) или . Такая особая точка называется седло – фокус и является неустойчивой.

В первом случае по оси точка по траектории приближается к плоскости и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеем неустойчивый фокус.

Во втором случае на плоскости имеем устойчивый фокус, поэтому траектория стремится к оси , но удаляется от начала координат по этой оси, так как .