Функция Ляпунова, «вторая метода Ляпунова»
Рассмотрим автономную систему и функцию . Назовем эту функцию знакоположительной, если , знакоотрицательной, если Назовем функцию положительно определенной, если она знакоположительна, Назовем функцию отрицательно определенной, если она знакоотрицательна, Назовем функцию знакоопределенной, если она является отрицательно определенной или положительно определенной.
Введем производную функции в силу системы : . Заметим, что . Поэтому, если , то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движению по фазовым траекториям внутрь линии уровня =С. На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводится к трем теоремам Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функция (функция Ляпунова), положительно определенная и имеющая знакоотрицательную в некоторой окрестности точки . Тогда тривиальное решение автономной системы устойчиво по Ляпунову. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существует функция , положительно определенная и имеющая отрицательно определенную в некоторой окрестности точки . Тогда тривиальное решение автономной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть . Пусть знакоопределена в некоторой окрестности точки . Если в любой окрестности точки найдутся такие точки, в которых знаки и совпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво. Пример.
Выберем положительно определена, отрицательно определена. Поэтому тривиальное решение асимптотически устойчиво.
Пример. Выберем и положительно определены, поэтому тривиальное решение неустойчиво.
|