Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о нахождении скорости v материальной точки. Пусть некоторая материальная точка совершает прямолинейное движение. В момент времени t₁ точка находится в положении М_1. В момент времени t₂ в положении М₂. Обозначим промежуток М₁, М₂ через ΔS; t₂ – t₁ =Δt. Величина называется средней скоростью движения. Чтобы найти мгновенную скорость точки в положении М₁ необходимо Δt устремить к нулю. Математически это значит, что

 

, (1)

 

Таким образом, для нахождения мгновенной скорости материальной точки необходимо вычислить предел отношения приращения функции ΔS к приращению аргумента Δt при условии, что Δt→0.

 

2. Задача о нахождении угла наклона касательной к графику функции.

 

Рис.1

 

Рассмотрим график некоторой функции у=f(х). Чему равен угол наклона касательной, проведенной в точке М₁? В точке М₁ проведем касательную к графику функции. На графике выберем произвольную точку М₂ и проведем секущую. Она наклонена к оси ОХ под углом α₁. Рассмотрим ΔМ₁М₂А:

 

, (2)

 

Если точку М₁ фиксировать, а точку М₂ приближать к М₁, то секущая М₁М₂ будет переходить в касательную к графику функции в точке М₁ и можно записать:

 

, (3)

 

Таким образом, необходимо вычислить предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Предел отношения приращения Δy функции у=f(х) к приращению аргумента Δx в заданной точке х₀ при стремлении Δx к нулю, называется производной функции в заданной точке.

Обозначения производной: у', f '(х), . По определению

 

, (4)

 

где Δx=х₂-х₁ – приращение аргумента (разность между двумя последующими достаточно близкими значениями аргумента), Δy=у₂-у₁ – приращение функции (разность между значениями функции, соответствующими этим значениям аргумента).

Нахождение производной данной функции называется ее дифференцированием. Дифференцирование основных элементарных функций производится по готовым формулам (см. табл.), а также с помощью правил:

 

1. Производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций:

 

(u+υ)'= u' +υ'

 

2. Производная произведения двух функций равна сумме произведений второй функции на производную первой и первой функции на производную второй:

 

(u∙ υ)'= u' υ + u υ'

 

 

3. Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель- квадрат знаменателя:

 

Физический смысл производной. Из сравнения (4) и (1) следует, что мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки равна производной зависимости ее координаты от времени.

Общий смысл производной функции заключается в том, что она характеризует скорость (быстроту) изменения функции при данном изменении аргумента. Быстрота протекания физических, химических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции, скорость размножения бактерий и т.п., также выражается при помощи производной.

Геометрический смысл производной. Величину тангенса угла наклона касательной, проведенной к графику функции, в математике называют угловым коэффициентом касательной.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в некоторой точке, численно равен производной функции в данной точке.

Это утверждение называют геометрическим смыслом производной.