Производная сложной функции

 

Из элементарных функций образуются сложные функции. Допустим, задана функция у =f(u), где u в свою очередь зависит от х, т.е. u=φ(х). Тогда, при изменении х будут меняться u и у. В этом случае заданная функция у =f(u) называется сложной и обозначается у =f [φ(х)]. Величина uназывается промежуточной переменной.

Тогда производная (по x) равна произведению производной (по u) на производную (по x):

у' = у'_u ∙u'_х, (5)

 

Пример 1.: у=е^kx

Обозначим u=kх, тогда у=е^u. Находим производную у'_u= е^u. Подставим значение u=kх, тогда у'_u= е^kx. Находим u'_х=k.

Ответ: у' = у'_u∙u'_х= k. е^kx

 

Таблица 1. Производные основных элементарных функций

 

3. Производные высших порядков

 

Если производная у' =φ(х) от функции у =f (х) дифференцируема, то от нее, в свою очередь, можно вычислить производную, которая называется производной второго порядка или второй производной от заданной функции по аргументу х. Ее обозначение у'', , .

Возможно образование производных и более высоких порядков: у''', (или ) и т.д.

Производная второго порядка от заданной функции у =f (х) вычисляется путем последовательного двукратного дифференцирования заданной функции по общим правилам:

 

у =f (х); у' = f' (х)=φ(х); у''= f'' (х)=φ'(х)

Пример 2: у=х⁴, у'=4х³, у''=12 х²

Физический смысл производной второго порядка – это мгновенное (в заданный момент времени) значение ускорения при прямолинейном неравномерном движении тела.

Действительно, скорость , а ускорение есть изменение скорости, т.е.

а=υ'=S'' или .

 

Пример: задано уравнение движения тела S=2t² (м). Найти скорость и ускорение через 5 с после начала движения.

Решение: Скорость Ускорение .