Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл с равными пределами равен нулю:

.

2. При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла изменяется на противоположную:

.

 

3. Если отрезок интегрирования разделен на конечное число n частичных отрезков , то определенный интеграл от функции на отрезке равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из частичных отрезков (свойство аддитивности):

 

 

.

 

4. ,

 

где - постоянный множитель.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, интегрируемых на отрезке , равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций на данном отрезке:

 

.

 

Величина определенного интеграла от функции , непрерывной на отрезке , равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:

, (23)

 

Формула (23) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Из этой формулы следует, что для вычисления определенного интеграла достаточно найти какую-либо из первообразных для подынтегральной функции и из ее значения, соответствующего верхнему пределу интегрирования, вычесть значение, соответствующее нижнему пределу.

Пример 9. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Первообразной для функции (имеющей наиболее простой вид), является . Поэтому в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница имеем .