Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка единичной массы перемещается из точки a в точку b оси OX под воздействием переменной силы, направленной вдоль оси OX (т.е., сила является функцией x: у=f(x)). Требуется найти работу A этой силы.

Разобьем отрезок произвольно на n частей точками (рис.4)

 

.

 

 

Рис.4

При достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезке величина силы f(x) почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке k ; f(x) для любых точек Є .

Работа силы на каждом отрезке тогда будет приближенно равна , где , а работа силы по перемещению массы вдоль всего отрезка будет приближенно равна

 

, (20)

 

Значение работы A будет тем точнее, чем мельче будет разбиение. Поэтому для получения точного значения работы переменной силы на всем отрезке необходимо перейти к пределу при

 

(21)

 

Таким образом, и для вычисления работы переменной силы необходимо уметь определять предел интегральной суммы (18).

Функция f(x) на отрезке называется интегрируемой, если существует такое число I, к которому стремится интегральная сумма (1) при . Тогда число называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается

;

 

- область интегрирования, называется нижним пределом интегрирования, - верхним пределом интегрирования. Из сказанного следует, что

 

, (22)

 

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции и работы переменной силы связано с нахождением определенного интеграла.