Метод интегрирования по частям
Пусть u(x) и υ(x)- непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен
d(u υ)=udυ+υdu, (16)
Проинтегрируем (16) по x. Имеем
uυ = υ+υdu откуда
υ=uυ- υdu, (17)
Равенство (17) называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла. Пример 7. Найти . Положим u=arctgx. Тогда du= , υ= и по формуле интегрирования по частям получим:
Пример 8. Найти ; Положим u=lnx, dυ=xdx. Тогда du= υ= и по формуле интегрирования по частям будем иметь .
Рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Задача о нахождении площади криволинейной трапеции Пусть дана неотрицательная функция y=f (x), график которой изображен на рис.3.
Рис.3
Выберем на оси OX точки a и b и восставим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура, ограниченная кривой, перпендикулярами и осью OX, называется криволинейной трапецией. Вычислим площадь этой трапеции. Для этого разобьем отрезок на n частичных отрезков точками
.
Внутри каждого отрезка длины выберем произвольную точку k . Составим произведения ,… Каждое такое произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в произвольной точке соответствующего отрезка. Сумма таких произведений
(18)
называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке и равна площади всех прямоугольников. Если каждый из отрезков достаточно мал, т.е. и т.д., то площадь заштрихованной области (рис.3) стремится к площади криволинейной трапеции, равной , (19)
Таким образом, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела интегральной суммы (18).
|