Метод интегрирования по частямПусть u(x) и υ(x)- непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен
d(u υ)=udυ+υdu, (16)
Проинтегрируем (16) по x. Имеем
uυ = откуда
Равенство (17) называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла. Пример 7. Найти
Пример 8. Найти Тогда du=
Рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Задача о нахождении площади криволинейной трапеции Пусть дана неотрицательная функция y=f (x), график которой изображен на рис.3.
Рис.3
Выберем на оси OX точки a и b и восставим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура, ограниченная кривой, перпендикулярами и осью OX, называется криволинейной трапецией. Вычислим площадь этой трапеции. Для этого разобьем отрезок
Внутри каждого отрезка Каждое такое произведение равно площади прямоугольника с основанием
называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке Если каждый из отрезков достаточно мал, т.е.
Таким образом, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела интегральной суммы (18).
|
υ+υdu
υdu, (17)
. Положим u=arctgx. Тогда du= 
, υ= 
и по формуле интегрирования по частям получим:
; Положим u=lnx, dυ=xdx.
υ= 
.
на n частичных отрезков точками
.
длины 
выберем произвольную точку k 
. Составим произведения 
,…
и высотой, равной значению функции 
в произвольной точке соответствующего отрезка. Сумма таких произведений
(18)
и т.д., то площадь заштрихованной области (рис.3) стремится к площади криволинейной трапеции, равной
, (19)
