Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид у'= (х,у), причем его правая часть может быть представлена в виде произведения двух отдельных функций: . Тогда

Преобразуем это уравнение, разделив переменные справа и слева:

 

 

Общий вид уравнения с разделенными переменными

 

f (y)dy= (x)dx.

 

Уравнение решается непосредственным интегрированием: слева по переменной у и справа по переменной х с прибавлением постоянной интегрирования С:

 

или F (y)=Ф (х)+С.

 

Решая это уравнение, находим:

 

у = .

 

Таким образом, алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными следующий:

а) если уравнение содержит производную, то представить ее в виде ;

б) преобразовать уравнение, перенося все члены его, содержащие у, в левую часть, содержащие х – в правую;

в) проинтегрировать по общим правилам левую часть по аргументу у и правую – по аргументу х с прибавлением постоянной интегрирования С.

г) решая полученное уравнение, найти искомую функцию.

Пример16. Найти общее решение уравнения y'=2xy и частное решение, соответствующее условию

y=2 при x=0, (33)

 

Решение. Представим производную y' в виде отношения дифференциалов:

 

.

Разделим переменные:

;

 

Проинтегрируем полученное уравнение:

 

ln y=x +C.

 

Так как в уравнение входит lny, то постоянную удобнее выразить в виде логарифма:

 

lny=х +lnC

 

lny- lnС=x

ln =х

Потенцируя это равенство, получим:

 

Отсюда , и для общего решения имеем

у=Се , (34)

 

Для нахождения частного решения подставим начальное условие (33) в (34):

 

, т.е. С=2 и искомое частное решение будет иметь вид

 

, (35)