VIII.Функции нескольких переменных

37. Найти область определения функций:

а) z = ; б) z = arcsin(x + y);

в) u = ln(x² + y² + z² – 1); г) u = ;

д) z = .

 

38. Построить линии уровней следующих функций (для z = 1, 2, 3):

а) z = x + y; б) z = x² – y²;

в) z = x² + y² – 3; г) z = ;

д) z = ; е) z = ln(xy);

ж) z = e^xy.

 

39. Построить поверхности уровней функций (для u = 0, 1, 2):

а) u = 2x + y + 3z;

б) u = x² + y² + z²;

в) u = 4x² + 9y² + z².

 

40. Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным

уравнениям:

а) ; ;

б) ; ;

в) ; .

41. Найти производные приведенных функций по направлению вектора eв

заданной точке:

а) z = x³y – 5xy² + 8; e = (1; 1); М₀(1; 1);

б) z = ln ; e = (6; 8); М₀(1; 2);

в) u = arccos ; e = (2; 1; 2); М₀(1; 1; 1).

 

42.Построить линии уровня функции z = 4 – x² – y². Найти величину и

направление gradz в точке М₀(1; 2).

 

43.Найти gradz и |gradz|:

а) z = (x – y)² в точке М₀(1; 1);

б) z = в точке М₀(1; 1).

 

44.Вычислить приближенно:

а) ;

б) ln(8,001 + 0,99³);

в) .

 

45.Показать, что функция z = удовлетворяет уравнению .

 

46.Найти экстремумы функции:

а) z = x² – xy + y² + 9x – 6y + 20;

б) z = xy² – xy – xy³ (x> 0, y> 0);

в) z = 3x² – x³ + 3y² + 4y;

г) z = y - y² – x + 6y;

д) z = 4 - .

 

47.Найти условные экстремумы функций:

а) z = x² + y² – xy + x + y – 4 при x + y + 3 = 0;

б) z = при x + y = 2;

в) z = x + 2y при x² + y² = 1;

г) z = x + y при .

48.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности 4x²+3y²+5z²=1 в точке P_{0 .}

 

49.

а) Получить линейную зависимость y = ax + b по следующим данным:

 

x
y

 

б) В результате исследования зависимости между сроком эксплуатации

автомобиля и расходами на его ремонт получены следующие данные:

 

t, лет
S, тыс. руб.

 

Найти:

- линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от срока

эксплуатации;

- предполагаемую величину затрат на ремонт за 10-й год эксплуатации.

 

в) Прибыль предприятия за некоторый период деятельности по годам

приведена ниже:

 

Год t
Прибыль π

 

Требуется:

- составить квадратичную зависимость прибыли по годам деятельности

предприятия;

- определить ожидаемую прибыль для 8-го года деятельности.

 

50.

а) Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Известно, что если на приобретение нового оборудования затратить x тыс. руб., а на зарплату вновь принятых работников y тыс. руб., то прирост объема продукции составит Q = 0,001x^0,6y^0,4. Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объема продукции был максимальным?

 

б) Общие издержки производства заданы функцией TC = 0,5x² + 0,6xy + 0,4y² + 700x + 600y + 2000, где x и y – соответственно количество товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были минимальными?