Частотные характеристики

Функция F (j w) = F (w) e^{j a(w)} называется спектральной или частотной характеристикой функции f (t),так как она представляет собой непрерывный спектр функции f (t).

Обозначения F (w) и a(w) показывают, что модуль F и аргумент a величины F (j w) являются функциями угловой частоты w.

Соотношение (**) показывает, что непериодическая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, может быть представлена как сумма бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами F (w) d w и с частотами, занимающими весь диапазон от –¥ до +¥.

Величина F (w), характеризующая зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудно-частотной характеристикой. Величина a(w), характеризующая зависимость начальной фазы y= p/2 + a от частоты, называется фазочастотной характеристикой.

Так как спектральная характеристика представляет собой деленную на j комплексную амплитуду гармонической составляющей, отнесенную к единице изменения частоты f = w/(2p), то ее называют также спектральной плотностью функции f (t).

Представим частотную характеристику в виде

При этом величина F ₁(w) называется вещественной частотной характеристикой, а величина F ₂(w) — мнимой частотной характеристикой.

Замечая, что F (j w) и F (–j w) являются сопряженными комплексными величинами, можем написать для их модулей и фаз

Следовательно, F (w) является четной функцией w, а a(w) — нечетной функцией. Поэтому, представив подынтегральную величину в выражении (**) в виде

будем иметь

и, следовательно, выражение (**) можно переписать в форме

представляющей собой интеграл Фурье (обратное преобразование Фурье) в тригонометрической форме. Последнее выражение со всей ясностью показывает, что непериодическую функцию, удовлетворяющую отмеченным ранее условиям, можно рассматривать как сумму бесконечного множества гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами F (w) d w и начальными фазами y(w) = p/2 + a(w). То, что амплитуды в этом случае оказались в два раза больше, чем при рассмотрении выражения (**), есть результат того, что в последнем выражении w изменяется от 0 до +¥, а не от –¥ до +¥ и, соответственно, гармоники с частотами w и –w, содержащиеся в выражении (**), просуммированы в последнем выражении.

Нетрудно заметить, что

и

или

Последнее равенство выражает собой теорему Релея, а также называется равенством Парсеваля.

В частном случае, когда f (t) = e представляет собой ЭДС, воздействующую на цепь только с активными сопротивлениями, равно энергии, выделяемой в цепи, причем g есть эквивалентная проводимость всей цепи. Равенство Парсеваля показывает, что в данном случае эта энергия может быть вычислена по известной амплитудно-частотной характеристике ЭДС.