Преобразование Фурье и его основные свойства. Частотные спектры импульсных сигналов, отличия от частотных спектров периодических несинусоидальных сигналов

Непериодический сигнал f (t), например единичный прямоугольный импульс,

можно представить как периодический с периодом Т ® ∞. При этом амплитуды гармонических составляющих, согласно (3.81), будут стремиться к нулю, т.е. станут бесконечно малыми величинами. Кроме того, расстояние между спектральными составляющими, которое определяется основной частотой ω;₁=2π/ Т также становится бесконечно малой величиной и спектр из дискретного преобразуется в сплошной.

Таким образом, непериодическое колебание можно рассматривать как сумму бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических колебаний, частоты которых отличаются на бесконечно малые величины и заполняют весь частотный диапазон. Ряд Фурье преобразуется в известный из математики интеграл Фурье:

(3.81)

где (3.82)

Предполагается, что функция f (t) во всяком конечном промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, абсолютно интегрируема в бесконечных пределах и f (t)=0 при t <0. Для нас важно, что (3.82) представляет из себя интегральную сумму бесконечно большого числа гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами | F (jω;)| dω;/π, начальными фазами φ;(ω;) и частотами ω;, непрерывно изменяющимися от ω;=0 до ω;→ ∞.

Функция | F (jω;)| называется спектральной плотностью амплитуд, т.к. амплитуда составляющих для каждого бесконечно малого диапазона частот от ω; до ω;+ dω; пропорциональна значению этой функции. Функция φ;(ω;) характеризует спектр фаз непериодического сигнала. Комплексную функцию F(jω) называют комплексной спектральной плотностью, а соотношение (3.82)-односторонним преобразованием Фурье.

Нетрудно увидеть аналогию и связь преобразований Лапласа и Фурье. Сравнивая (3.82) и (3.40), можно сделать заключение, что одностороннее преобразование Фурье F(jω) может быть получено из преобразования Лапласа F(p) при p = jω;,т.е.

(3.83)

Соотношение (3.83) может быть использовано для анализа спектрального состава различных сигналов с использованием обширных таблиц преобразований Лапласа.