Тема 1.2

Мера. Меры на

Определение 1. Пусть есть полуалгебра подмножеств множества . Отображение , отличное от тождественной , называется мерой или - аддитивной мерой), если оно удовлетворяет следующему условию:

если , то ( - аддитивность).

Если же вместо условия - аддитивности выполняется следующее более слабое условие:

если , то

то называется конечно-аддитивной мерой.

Теорема 1 (свойства мер). Мера на алгебре подмножеств множества обладает следующими свойствами:

1) -полуаддитивность: если , то ;

2) непрерывность снизу:

;

3) непрерывность сверху:

Система множеств

называется полуалгеброй стрелок.

Определение 2. Пусть – неубывающая функция. Мера Лебега-Стилтьеса определяется на полуалгебре стрелок равенствами

При этом называется функцией распределения меры (или производящей функцией).

Определение 3. При мера называется мерой Лебега на прямой и обозначается .

Теорема 2. Мера Лебега-Стилтьеса - аддитивна тогда и только тогда, когда ее функция распределения F непрерывна слева. В частности, мера Лебега - аддитивна.

1.2.1 Пусть – конечная мера, определенная на алгебре подмножеств множества ; . Докажите следующие соотношения:

Вариант 1.

Ø .

Вариант 2.

.

Вариант 3.

.

Вариант 4.

.

Вариант 5.

.

Вариант 6.

Если , то .

Вариант 7.

.

Вариант 8.

.

Вариант 9.

.

Вариант 10.

.

Вариант 11. Если то .

Вариант 12. Ø

( - симметрическая разность множеств E и F.).

 

1.2.2 Пусть , – полуалгебра стрелок. Рассмотрим функцию на , задаваемую равенствами

При каких значениях параметра эти формулы задают: а) конечно-аддитивную меру; б) -аддитивную меру? Если мера не является -аддитивной, то указать множество и его разбиение , такое, что (таблица 1.2.2).

 

Таблица 1.2.2

 

Вариант	F	Вариант	F

 

1.2.3 Выяснить, является ли множество измеримым и найти его лебегову меру, если (таблица 1.2.3).

 

Таблица 1.2.3

 

Вариант	f	Вариант	f