Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 1.2




Мера. Меры на

Определение 1. Пусть есть полуалгебра подмножеств множества . Отображение , отличное от тождественной , называется мерой или -аддитивной мерой), если оно удовлетворяет следующему условию:

если , то ( -аддитивность).

Если же вместо условия - аддитивности выполняется следующее более слабое условие:

если , то

то называется конечно-аддитивной мерой.

Теорема 1(свойства мер). Мера на алгебре подмножеств множества обладает следующими свойствами:

1) -полуаддитивность: если , то ;

2) непрерывность снизу:

;

3) непрерывность сверху:

Система множеств

называется полуалгеброй стрелок.

Определение 2. Пусть – неубывающая функция. Мера Лебега-Стилтьеса определяется на полуалгебре стрелок равенствами

При этом называется функцией распределения меры (или производящей функцией).

Определение 3.При мера называется мерой Лебега на прямой и обозначается .

Теорема 2. Мера Лебега-Стилтьеса -аддитивна тогда и только тогда, когда ее функция распределения F непрерывна слева. В частности, мера Лебега -аддитивна.

1.2.1Пусть – конечная мера, определенная на алгебре подмножеств множества ; . Докажите следующие соотношения:

Вариант 1.

Ø .

Вариант 2.

.

Вариант 3.

.

Вариант 4.

.

Вариант 5.

.

Вариант 6.

Если , то .

Вариант 7.

.

Вариант 8.

.

Вариант 9.

.

Вариант 10.

.

Вариант 11. Если то .

Вариант 12. Ø

( - симметрическая разность множеств E и F.).

 

1.2.2 Пусть , – полуалгебра стрелок. Рассмотрим функцию на , задаваемую равенствами

При каких значениях параметра эти формулы задают: а) конечно-аддитивную меру; б) -аддитивную меру? Если мера не является -аддитивной, то указать множество и его разбиение , такое, что (таблица 1.2.2).

 

Таблица 1.2.2

 

Вариант F Вариант F

 

1.2.3 Выяснить, является ли множество измеримым и найти его лебегову меру, если (таблица 1.2.3).

 

Таблица 1.2.3

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 710. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия