Измеримые функции. Интеграл Лебега

 

Всюду ниже есть -аддитивная мера, определенная на -алгебре подмножеств множества Х. Элементы системы называются - измеримыми (измеримыми, если ясно, о какой мере идет речь) множествами.

Определение 1. Функция называется - измеримой (измеримой, если ясно, о какой мере идет речь), если множество

принадлежит , то есть является измеримым.

Семейство всех измеримых функций образует алгебру относительно поточечных операций сложения и умножения функций, а также умножения функции на число.

Определение 2. Функция называется простой, если она измерима и множество ее значений конечно.

Простые функции тоже образуют алгебру относительно поточечных операций сложения и умножения функций, а также умножения функции на число.

Важным примером простой функции является индикатор множества (характеристическая функция множества ), определяемый равенством

.

Каждая простая функция единственным образом может быть представлена в виде

где числа попарно различны, . Это представление называется каноническим.

Определение 3. Пусть – неотрицательная простая функция на с каноническим представлением

Интеграл от функции определяется равенством

Определение 4. Пусть f – неотрицательная измеримая функция на . Интеграл от функции f определяется равенством

,

где – последовательность неотрицательных простых функций, которая не убывая сходится к f.

Возможны и другие (равносильные) определения (см., напр., [2, 6]).

Определение 5. Пусть f – измеримая функция на , а и – ее положительная и отрицательная части соответственно. Интеграл от функции f определяется равенством

при условии, что интегралы в правой части существуют и конечны. При этом функция f называется интегрируемой (пишут ).

Интеграл Лебега функции f по множеству определяется равенством

.

Теорема 1 (о сравнении интеграла Лебега с собственным интегралом Римана). Если функция интегрируема по Риману, то и

Аналогичный результат верен и для n -кратного интеграла.

Теорема 2 (критерий Лебега интегрируемости по Риману). Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена, и мера множества ее точек разрыва равна нулю.

Теорема 3 Если и -п.в., то и

.

1.3.1 Докажите, что функция является простой, а затем, пользуясь определением интеграла от простой функции, вычислите (таблица 1.3.1).

Таблица 1.3.1

 

Вариант		Вариант

 

1.3.2 Для функции (таблица 1.3.2):

а) выяснить, является ли ограниченной;

б) найти меру Лебега множества ее точек разрыва;

в) определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;

г) выяснить, измерима ли ;

д) найти интеграл Лебега , если он существует.

 

Таблица 1.3.2

 

Вариант
1	2	3	4

 

Окончание таблицы 1.3.2

 

1	2	3	4
	-1

1.3.3 Доказатьсуществование и вычислить , где

, плоская мера Лебега (таблица 1.3.3).

 

Таблица 1.3.3

 

Вариант		Вариант