Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Измеримые функции. Интеграл Лебега





 

Всюду ниже есть -аддитивная мера, определенная на -алгебре подмножеств множества Х. Элементы системы называются - измеримыми (измеримыми, если ясно, о какой мере идет речь) множествами.

Определение 1. Функция называется - измеримой (измеримой, если ясно, о какой мере идет речь), если множество

принадлежит , то есть является измеримым.

Семейство всех измеримых функций образует алгебру относительно поточечных операций сложения и умножения функций, а также умножения функции на число.

Определение 2. Функция называется простой, если она измерима и множество ее значений конечно.

Простые функции тоже образуют алгебру относительно поточечных операций сложения и умножения функций, а также умножения функции на число.

Важным примером простой функции является индикатор множества (характеристическая функция множества ), определяемый равенством

.

Каждая простая функция единственным образом может быть представлена в виде

где числа попарно различны, . Это представление называется каноническим.

Определение 3. Пусть – неотрицательная простая функция на с каноническим представлением

Интеграл от функции определяется равенством

Определение 4. Пусть f – неотрицательная измеримая функция на . Интеграл от функции f определяется равенством

,

где – последовательность неотрицательных простых функций, которая не убывая сходится к f.

Возможны и другие (равносильные) определения (см., напр., [2, 6]).

Определение 5. Пусть f – измеримая функция на , а и – ее положительная и отрицательная части соответственно. Интеграл от функции f определяется равенством

при условии, что интегралы в правой части существуют и конечны. При этом функция f называется интегрируемой (пишут ).

Интеграл Лебега функции f по множеству определяется равенством

.

Теорема 1 (о сравнении интеграла Лебега с собственным интегралом Римана). Если функция интегрируема по Риману, то и

Аналогичный результат верен и для n -кратного интеграла.

Теорема 2 (критерий Лебега интегрируемости по Риману). Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена, и мера множества ее точек разрыва равна нулю.

Теорема 3 Если и -п.в., то и

.

1.3.1 Докажите, что функция является простой, а затем, пользуясь определением интеграла от простой функции, вычислите (таблица 1.3.1).

Таблица 1.3.1

 

Вариант Вариант
   
   
   
   
   
   

 

1.3.2 Для функции (таблица 1.3.2):

а) выяснить, является ли ограниченной;

б) найти меру Лебега множества ее точек разрыва;

в) определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;

г) выяснить, измерима ли ;

д) найти интеграл Лебега , если он существует.

 

Таблица 1.3.2

 

Вариант
1 2 3 4
     
     

 

Окончание таблицы 1.3.2

 

1 2 3 4
     
     
     
     
     
     
     
     
     
  -1  

1.3.3 Доказатьсуществование и вычислить , где

, плоская мера Лебега (таблица 1.3.3).

 

Таблица 1.3.3

 

Вариант Вариант
   
   
   
   
   
   

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 1992. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия