Примеры решения типовых задач.

1 Пусть , и

Вычислить .

 

Пример 1. .

Решение. Воспользуемся тем, что для любой кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции , имеющей только точки разрыва первого рода со скачками соответственно и непрерывной слева, и для любой функции (здесь и ниже – мера Лебега-Стилтьеса, с функцией распределения F) справедливо равенство

. (1)

В данном случае имеет точки разрыва 0; 1 и 4 со скачками 3; 5 и

–1 соответственно, а почти всюду. Кроме того, в силу непрерывности меры снизу, имеем: , и аналогично, (другими словами, мера сосредоточена на отрезке ). Значит, по формуле (1)

.

 

2Проверить, что заданная на отрезке функция не убывает и непрерывна слева. Рассмотреть меру Лебега-Стилтьеса , порожденную функцией . Найти:

а) меру каждого одноточечного множества;

б) меру канторова множества ;

в) меру множества рациональных чисел, лежащих на отрезке ;

г) интеграл , если он существует.

Пример 1.

,

 

Решение. Ясно, что неубывающая функция и имеет точки разрыва со скачками соответственно, в которых она непрерывна слева (рисунок 5).

1) Если и , то (обоснуйте нижеследующие выкладки)

.

 

 

Рисунок 5 – График функции

Если же , то, рассуждая как выше, получим

, .

2) По формуле (1)

,

поскольку и .

3) В силу счётности множества множество рациональных чисел, лежащих на отрезке , можно представить в виде

[0;9] , где .

Учитывая сказанное в пункте 1), имеем . Поэтому

.

г) Снова используя формулу (1) (которая справедлива и для промежутков вида [ a; b)), получаем

=

(Выше мы воспользовались тем, что m -почти всюду, а потому