Примеры решения типовых задач.
1 Пусть Вычислить
Пример 1. Решение. Воспользуемся тем, что для любой кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции
В данном случае –1 соответственно, а
2Проверить, что заданная на отрезке а) меру каждого одноточечного множества; б) меру канторова множества в) меру множества рациональных чисел, лежащих на отрезке г) интеграл Пример 1.
Решение. Ясно, что 1) Если
Рисунок 5 – График функции Если же
2) По формуле (1)
поскольку 3) В силу счётности множества
Учитывая сказанное в пункте 1), имеем
г) Снова используя формулу (1) (которая справедлива и для промежутков вида [ a; b)), получаем
(Выше мы воспользовались тем, что
|
, и 
.
.
, имеющей только точки разрыва первого рода 
со скачками 
соответственно и непрерывной слева, и для любой функции 
(здесь и ниже 
– мера Лебега-Стилтьеса, с функцией распределения F) справедливо равенство
. (1)
имеет точки разрыва 0; 1 и 4 со скачками 3; 5 и
почти всюду. Кроме того, в силу непрерывности меры снизу, имеем: 
, и аналогично, 
(другими словами, мера 
). Значит, по формуле (1)
.
функция 
не убывает и непрерывна слева. Рассмотреть меру Лебега-Стилтьеса 
, порожденную функцией 
;
;
, если он существует.
, 
неубывающая функция и имеет точки разрыва 
со скачками 
соответственно, в которых она непрерывна слева (рисунок 5).
и 
, то (обоснуйте нижеследующие выкладки)
.
, то, рассуждая как выше, получим
, 
.
,
и 
.
множество рациональных чисел, лежащих на отрезке 
, можно представить в виде
[0;9] 
, где 
.
. Поэтому
.
=
m -почти всюду, а потому
