Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач.




1 Пусть , и

Вычислить .

 

Пример 1. .

Решение. Воспользуемся тем, что для любой кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции , имеющей только точки разрыва первого рода со скачками соответственно и непрерывной слева, и для любой функции (здесь и ниже – мера Лебега-Стилтьеса, с функцией распределения F) справедливо равенство

. (1)

В данном случае имеет точки разрыва 0; 1 и 4 со скачками 3; 5 и

–1 соответственно, а почти всюду. Кроме того, в силу непрерывности меры снизу, имеем: , и аналогично, (другими словами, мера сосредоточена на отрезке ). Значит, по формуле (1)

.

 

2Проверить, что заданная на отрезке функция не убывает и непрерывна слева. Рассмотреть меру Лебега-Стилтьеса , порожденную функцией . Найти:

а) меру каждого одноточечного множества;

б) меру канторова множества ;

в) меру множества рациональных чисел, лежащих на отрезке ;

г) интеграл , если он существует.

Пример 1.

,

 

Решение. Ясно, что неубывающая функция и имеет точки разрыва со скачками соответственно, в которых она непрерывна слева (рисунок 5).

1) Если и , то (обоснуйте нижеследующие выкладки)

.

 

 

Рисунок 5 – График функции

Если же , то, рассуждая как выше, получим

, .

2) По формуле (1)

,

поскольку и .

3) В силу счётности множества множество рациональных чисел, лежащих на отрезке , можно представить в виде

[0;9] , где .

Учитывая сказанное в пункте 1), имеем . Поэтому

.

г) Снова используя формулу (1) (которая справедлива и для промежутков вида [a;b)), получаем

=

(Выше мы воспользовались тем, что m-почти всюду, а потому

 

 
 
 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 1198. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия