Пример 1.

, , .

Решение. 1Найдем f (A).

1 способ. Заметим, что . А так как функция f непрерывна, а множество А связно, то f принимает на А все свои промежуточные значения по теореме Больцано-Коши. Следовательно, .

2 способ. Покажем, что . В самом деле, с одной стороны,

,

а потому .

С другой стороны, если , то

а) при имеем ;

б) при имеем .

Следовательно, . Доказанные включения показывают, что

2 Имеем , так как неравенство равносильно неравенству .

3 Поскольку Ø, то Ø.

4

и .

Следовательно, данное множество представляет собой пересечение двух полуплоскостей, задаваемых неравенствами и , т.е. полосу, заключенную между прямыми и (рисунок 1).

Рисунок 1 – Множество

Очевидно, отображение f является сюръективным (почему?), не является инъективным (проверьте), а значит, не является и биективным.

 

3 Выяснить, является ли следующее множество конечным, счетным или множеством мощности континуум.

 

Пример 1. Множество всех замкнутых шаров в натурального радиуса, координаты центров которых являются целыми числами.

Решение. Обозначим данное множество через М. Если каждому шару из множества поставить в соответствие точку из (мы полагаем ), то возникает отображение , которое, как легко проверить, инъективно (проверьте!). Следовательно, f есть биекция множества М на f (M). Но последнее множество счетно как бесконечное подмножество счетного множества (оно бесконечно, поскольку эквивалентно бесконечному множеству М). Следовательно, будучи эквивалентным счетному множеству, множество М тоже счетно.

 

Пример 2. Множество действительных чисел из отрезка , разложение которых в десятичную дробь неоднозначно.

 

Решение. Как известно, множество всех чисел из отрезка , разложение которых в десятичную дробь неоднозначно, есть множество всех рациональных чисел из , представимых в виде конечной десятичной дроби. (В этом случае число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби двумя способами – с «хвостом» девяток и с «хвостом» нулей, например, 0,12 = 0,12(0) = 0,11(9)). Значит, . Но счетно. Поэтому счетно как бесконечное подмножество счетного множества.

 

4 Выяснить, образует ли полуалгебру, алгебру, -алгебру следующая система подмножеств данного множества Х.

 

Пример 1. Система всевозможных выпуклых многоугольников (включая и пустой многоугольник), содержащихся в квадрате , (некоторые стороны могут не принадлежать многоугольнику).

Решение. Обозначим данную систему через и проверим для нее аксиомы алгебры:

1) пересечение двух выпуклых многоугольников, очевидно, является выпуклым многоугольником (выпуклый многоугольник есть пересечение конечного числа полуплоскостей), т. е. принадлежит ;

2) дополнение до Х выпуклого многоугольника, лежащего строго внутри Х, как легко видеть, не является выпуклым многоугольником, т. е. не принадлежит . Следовательно, - не алгебра (а потому и не -алгебра).

С другой стороны, если М – выпуклый многоугольник, содержащийся в квадрате Х, то отрезки перпендикуляров, опущенных из его вершин на стороны квадрата, разбивают дополнение на конечное число выпуклых многоугольников (сделайте рисунок, иллюстрирующий это построение). Таким образом, удовлетворяет всем аксиомам полуалгебры.