Примеры решения типовых задач. 1Пусть – конечная мера, определенная на алгебре подмножеств множества ;

1 Пусть – конечная мера, определенная на алгебре подмножеств множества ; . Докажите указанное соотношение.

Пример 1. .

 

Решение. Так как

,

,

(рисунок 2), то по свойству конечной аддитивности меры получим

, (1)

, (2)

. (3)

 

Рисунок 2 – Множества

 

Выразив и из (2) и (3) и подставив полученные выражения в (1), после преобразований получим

.

 

2 Пусть , – полуалгебра стрелок. Рассмотрим функцию на , задаваемую равенствами

(1)

При каких значениях параметра эти формулы задают: а) конечно-аддитивную меру; б) -аддитивную меру? Если мера не является -аддитивной, то указать множество и его разбиение , такое, что .

 

Пример 1.

где n пробегает множество целых чисел.

Рисунок 3 – Фрагмент графика функции на множестве \

 

Решение 1 Легко видеть, что формулы (1) задают конечно-аддитивную меру тогда и только тогда, когда - неубывающая функция. Мы видим (рисунок 3), что на множестве \ функция не убывает. Для того чтобы эта функция не убывала на всем , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия , то есть , или . Итак, данная мера конечно-аддитивна тогда и только тогда, когда .

2 Как известно, данная формула будет задавать -аддитивную меру тогда и только тогда, когда неубывающая и непрерывная слева функция. Так как непрерывна на \ , то для этого необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна слева в точках , то есть , или . Отсюда .

3 Пусть теперь , то есть . Тогда мера не является -аддитивной. Возьмем точку разрыва функции ,например, , и рассмотрим множества

, .

Тогда (проверьте), но

.

А в то же время

,

так как .

3 Выяснить, является ли данное множество измеримым и найти его лебегову меру, если:

 

Пример 1. , а = .

Решение. Для любого рационального q уравнение имеет счетное или пустое множество решений (найдите эти решения). Следовательно, множество счетно. Заметим, что для любого а из (докажите). Значит, А измеримо, причем (объясните, почему).

 

Пример 2. Множество состоит из точек отрезка , у которых существует десятичное представление, содержащее хотя бы одну цифру 2.

 

Решение. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими двумя свойствами меры Лебега на прямой:

(2)

которые справедливы для любого числа х и любого измеримого множества А.

Заметим, что дополнение состоит из чисел, у которых существует десятичное представление, не содержащее цифру 2. Найдем . Пусть

.

Тогда ясно, что . Кроме того, множество измеримо. Теперь заметим, что (объединение берется по всем цифрам n, отличным от 2). В самом деле, , где цифры , где . Поэтому измеримо и (мы воспользовались свойствами (2)). Аналогично получаем, что измеримо для любого и . Следовательно, по индукции . Таким образом, множество измеримо. Более того, поскольку , то в силу свойства непрерывности меры сверху имеем

.

А так как то (это означает, что вероятность того, что у случайно взятого числа в десятичной записи есть цифра 2, равна 1!).