Интеграл Лебега-Стилтьеса

Определение 1. Пусть функция не убывает и непрерывна слева, – мера Лебега-Стилтьеса с функцией распределения . Тогда интеграл , ( – борелевское множество) называется интегралом Лебега-Стилтьеса функции f и обозначается

.

При этом называют интегрирующей, а f – подынтегральной функцией.

Понятие интеграла Лебега-Стилтьеса обобщается на более широкий класс интегрирующих функций.

Определение 2. Пусть F – функция на . Для разбиения отрезка положим

Функцию будем называть функцией ограниченной вариации (или функцией c ограниченным полным изменением) на , если числа ограничены в совокупности. В этом случае число

называется полной вариацией (или полным изменением) функции F на отрезке .

Класс всех функций c ограниченным полным изменением на обозначим BV . Это векторное пространство относительно обычных (поточечных) операций над функциями.

Известно, что BV совпадает с классом функций, представимых в виде , где функции определены на отрезке и не убывают (теорема Жордана). Это представление называется разложением Жордана функции F.

Определение 3. Пусть F –функция на ограниченной вариации с разложением Жордана . Интеграл Лебега-Стилтьеса функции f с интегрирующей функцией F определяется следующим образом:

.

1.4.1 Пусть , и

Вычислить (таблица 1.4.1).

 

Таблица 1.4.1

 

Вариант		Вариант

 

 

1.4.2 Проверить, что заданная на отрезке функция не убывает и непрерывна слева. Рассмотреть меру Лебега-Стилтьеса , порожденную функцией . Найти:

а) меру каждого одноточечного множества;

б) меру канторова множества С;

в) меру множества рациональных чисел, лежащих на отрезке ;

г) интеграл , если он существует (таблица 1.4.2).

 

 

Таблица 1.4.2

 

Вариант	a	b
	-1