Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интеграл Лебега-Стилтьеса




Определение 1. Пусть функция не убывает и непрерывна слева, – мера Лебега-Стилтьеса с функцией распределения . Тогда интеграл , ( – борелевское множество) называется интегралом Лебега-Стилтьеса функции f и обозначается

.

При этом называют интегрирующей, а f – подынтегральной функцией.

Понятие интеграла Лебега-Стилтьеса обобщается на более широкий класс интегрирующих функций.

Определение 2. Пусть F – функция на . Для разбиения отрезка положим

Функцию будем называть функцией ограниченной вариации (или функцией c ограниченным полным изменением) на , если числа ограничены в совокупности. В этом случае число

называется полной вариацией (или полным изменением) функции F на отрезке .

Класс всех функций c ограниченным полным изменением на обозначим BV . Это векторное пространство относительно обычных (поточечных) операций над функциями.

Известно, что BV совпадает с классом функций, представимых в виде , где функции определены на отрезке и не убывают (теорема Жордана). Это представление называется разложением ЖорданафункцииF.

Определение 3. Пусть F –функция на ограниченной вариации с разложением Жордана . Интеграл Лебега-Стилтьеса функции f с интегрирующей функцией F определяется следующим образом:

.

1.4.1 Пусть , и

Вычислить (таблица 1.4.1).

 

Таблица 1.4.1

 

Вариант Вариант

 

 

1.4.2Проверить, что заданная на отрезке функция не убывает и непрерывна слева. Рассмотреть меру Лебега-Стилтьеса , порожденную функцией . Найти:

а) меру каждого одноточечного множества;

б) меру канторова множества С;

в) меру множества рациональных чисел, лежащих на отрезке ;

г) интеграл , если он существует (таблица 1.4.2).

 

 

Таблица 1.4.2

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 2546. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия