Примеры решения типовых задач

1 Докажите, что функция является простой, а затем, пользуясь определением интеграла от простой функции, вычислите .

Пример 1. Множество есть отрезок .

 

Решение. Легко подсчитать, что

(произведите эти подсчеты). Следовательно, график функции имеет вид

 

 

Рисунок 4 – График функции

 

Таким образом, каноническое представление этой функции есть

(объясните, почему). Поскольку индикатор измерим, когда (и только когда) измеримо множество А, то данная функция измерима, как линейная комбинация измеримых, а потому является простой, причем по определению

.

2 Для функции :

а) выяснить, является ли ограниченной;

б) найти меру Лебега множества ее точек разрыва;

в) определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;

г) выяснить, измерима ли ;

д) найти интеграл Лебега , если он существует.

 

Пример 1

Решение. 1) Поскольку функция не ограничена на множестве (докажите), то неограниченная функция.

Покажем, что множество точек разрыва функции есть отрезок , из которого удалена некоторая точка а. Пусть . Рассмотрим последовательность точек , такую, что при . Тогда , если , и , если .

С другой стороны, если мы возьмем последовательность точек , такую, что ,то будем иметь при . Следовательно, если , то не существует, а если , то существует

Резюмируя, получаем, что функция разрывна в тех и только тех точках , для которых . Но уравнение имеет единственное решение (докажите это, используя теорему о промежуточном значении и монотонность левой части). Таким образом, множество точек разрыва функции f есть , а, стало быть, мера множества точек разрыва функции равна 1.

3) Из результата пункта 1 следует, что функция не интегрируема по Риману на отрезке ..

Что касается несобственного интеграла, то он не существует, так как в силу критерия Лебега не существует риманов интеграл (см. определение несобственного интеграла от неограниченной функции, определенной на конечном промежутке).

4 Определение функции можно переписать в виде

(подумайте, почему). Поскольку измеримые функции образуют алгебру, а непрерывные функции и индикаторы измеримых множеств измеримы, из этого равенства следует, что функция f тоже измерима.

5 Так как , то

п. в.

Поэтому интеграл Лебега для функции по отрезку совпадает с интегралом Лебега (а потому и с интегралом Римана) для функции по этому отрезку. Следовательно,

.

 

3 Доказатьсуществование и вычислить , где плоская мера Лебега, .

Пример 1.

Решение. Докажем, что - почти всюду на множестве . Действительно, , если , где

.

Далее, равенство равносильно , если , и , , если . Значит, множество N содержится в объединении счетного множества прямых . А так как для любой прямой l, то . Следовательно, существует интеграл

(мы восплользовались тем, что двойной интегрвал Римана функции g (x, y), если он существует, совпадает с интегралом от g (x, y) по плоской мере Лебега).

Тема 4