Примеры решения типовых задач. 1. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве .

1. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве .

Пример 1. .

Решение. Воспользуемся тем фактом, что тоже является интегральным оператором, причем для ядер операторов и выполняется соотношение

. (1)

Другими словами,

.

В данном случае , если находится между и , и в остальных случаях. В силу (1) должно выполняться , если находится между и , и в остальных случаях. Возможно 2 случая:

1) . Тогда .

В этом случае утверждение « находится между и » равносильно неравенству , т. е. тому, что и . Отсюда (объясните последнее равенство).

2) . Тогда .

В этом случае утверждение « находится между и » равносильно неравенству , т. е. тому, что и . Отсюда (мы воспользовались тем, что ). Поэтому

.

 

2. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве с весом , где .

Пример 1. .

Решение. В данном пространстве скалярное произведение задается следующим образом:

.

Следовательно,

.

Поскольку полученное выражение должно равняться , то в силу единственности сопряженного оператора имеем

.

3. Если это возможно, приведите пример самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, точечный спектр которого совпадает с данным множеством .

Пример 1. .

Решение. Рассмотрим оператор в пространстве . Несложно проверить (сделайте это), что он является самосопряженным, и точечный спектр его совпадает с данным множеством .

Пример 2. .

Ответ: Данное множество не может быть точечным спектром самосопряженного оператора.

Указание. Необходимо воспользоваться свойством спектра самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.