Спектр линейного непрерывного оператора
Всюду далее – комплексное банахово пространство, - линейный ограниченный оператор в . Определение. Собственным значением оператора называется такое число , при котором уравнение имеет ненулевые решения. Эти решения называются собственными векторами оператора , отвечающими собственному значению . Определение. Множество всех собственных значений оператора называется точечным спектром и обозначается Определение. Число называется регулярной точкой оператора , если оператор имеет ограниченный обратный. Определение. Множесто регулярных точек обозначается и называется резольвентным множеством оператора . Определение. Операторнозначная функция называется резольвентой оператора . Определение. Спектром оператора называется множество . Теорема. Спектр оператора есть непустое компактное подмноожество комплексной плоскости. Определение. Непрерывным спектром оператора называется множество тех из , для которых множество плотно в . Определение. Остаточным спектром оператора называется множество тех из , для которых множество не плотно в . 4.2.1. Найти спектр данного оператора (таблица 4.2.1). Таблица 4.2.1
4.2.2. Найти спектр и резольвентное множество данного оператора в пространстве (таблица 4.2.2).
Таблица 4.2.2
4.2.3. Найти собственные значения, точки непрерывного и точки остаточного спектров оператора в пространстве , если (таблица 4.2.3).
Таблица 4.2.3
4.2.4. Найти спектр оператора в пространстве , если (таблица 4.2.4). Таблица 4.2.4
Окончание таблицы 4.2.4
4.2.5. Выяснить, может ли множество быть спектром неко-торого линейного ограниченного оператора. В случае поло-жительного ответа привести пример такого оператора (таблица 4.2.5).
Таблица 4.2.5
|