Спектр линейного непрерывного оператора

 

 

Всюду далее – комплексное банахово пространство, - линейный ограниченный оператор в .

Определение. Собственным значением оператора называется такое число , при котором уравнение

имеет ненулевые решения. Эти решения называются собственными векторами оператора , отвечающими собственному значению .

Определение. Множество всех собственных значений оператора называется точечным спектром и обозначается

Определение. Число называется регулярной точкой оператора , если оператор имеет ограниченный обратный.

Определение. Множесто регулярных точек обозначается и называется резольвентным множеством оператора .

Определение. Операторнозначная функция

называется резольвентой оператора .

Определение. Спектром оператора называется множество

.

Теорема. Спектр оператора есть непустое компактное подмноожество комплексной плоскости.

Определение. Непрерывным спектром оператора называется множество тех из , для которых множество плотно в .

Определение. Остаточным спектром оператора называется множество тех из , для которых множество не плотно в .

4.2.1. Найти спектр данного оператора (таблица 4.2.1).

Таблица 4.2.1

 

Вариант	A

 

4.2.2. Найти спектр и резольвентное множество данного оператора в пространстве (таблица 4.2.2).

 

Таблица 4.2.2

 

Вариант	А	Вариант	А

 

4.2.3. Найти собственные значения, точки непрерывного и точки остаточного спектров оператора в пространстве , если (таблица 4.2.3).

 

Таблица 4.2.3

 

Вариант		Вариант

4.2.4. Найти спектр оператора в пространстве , если (таблица 4.2.4).

Таблица 4.2.4

 

Вариант
1	2

Окончание таблицы 4.2.4

 

1	2

4.2.5. Выяснить, может ли множество быть спектром неко-торого линейного ограниченного оператора. В случае поло-жительного ответа привести пример такого оператора (таблица 4.2.5).

 

Таблица 4.2.5

 

Вариант	М	Вариант	М