Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1.Выяснить, являются ли следующие операторы компактными в пространстве .




1.Выяснить, являются ли следующие операторы компактными в пространстве .

 

Пример 1. .

 

Решение. Докажем, что данный оператор не является компактным. Возьмем множество . Оно ограничено в . В то же время множество не является предкомпактным в , так как не удовлетворяет свойству Больцано-Вейерштрасса. В самом деле, из последовательности нельзя извлечь сходящуюся в подпоследовательность в силу того, что любая ее подпоследовательность будет иметь разрывный предел (какой?), а предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций должен быть непрерывен. В соответствии с определением компактного оператора данный оператор не компактен.

 

Пример 2. .

 

Решение. Представим данный оператор в виде , где

, ,

и докажем, что операторы и компактны. Оператор компактен как интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром.Компактность оператора следует из того, что он является ограниченным оператором конечного ранга. Действительно, он ограничен, так как

,

а с другой стороны образ оператора А есть

,

а потому

,

поскольку все функции линейно выражаются через функцию . Следовательно, оператор компактен как сумма компактных операторов.

 

2. Выяснить, является ли оператор компактным.

 

Пример 1..

 

Решение.Докажем, что оператор является компактным. Рассмотрим следующую последовательность линейных операторов конечного ранга:

(образ оператора содержится в n-мерном подпространстве пространства l1 , состоящем из векторов вида ).

Эти операторы ограничены. Действительно,

Следовательно, они компактны. Теперь компактность оператора А следует из того, что последовательность сходится к А по норме, так как

,

а потому

,

поскольку остаток сходящегося ряда стремиться к нулю.

3.Выяснить, является ли оператор компактным.

 

Пример 1. , .

 

Решение. Возьмем в произвольное ограниченное множество М. Его ограниченность означает, что

.

Отсюда следует, что

, .

Рассмотрим теперь множество . Оно равномерно ограничено, так как . Кроме того, равностепенно непрерывно, так как по теореме Лагранжа

.

В силу теоремы Арцела-Асколи множество предкомпактно. Значит, оператор А компактен.

 

Пример 2. , .

Решение. Возьмем ограниченное в множество

(проверьте ограниченность множества М). Множество не является предкомпактным в пространстве , так как не содержит сходящихся в подпоследовательностей (т. е. не удовлетворяет свойству Больцано-Вейерштрасса). В самом деле, из сходимости последовательности в следует равномерная сходимость последовательности ее производных (проверьте это). А с другой стороны, из последовательности нельзя извлечь равномерно сходящуюся подпоследовательность (почему?). Значит, данный оператор не компактен.







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 1591. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия