Примеры решения типовых задач. 1.Найти спектр данного оператора .
1.Найти спектр данного оператора .
Пример 1. 
Решение. Известно, что спектр оператора в конечномерноли пространстве состоит из собственных значений. Таким образом, нас интересуют те значения параметра , при которых уравнение имеет ненулевые решения. Но это уравнение равносильно следующей однородной системе линейных уравнений:
,
главный определитель которой равен . По следствию из правила Крамера эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель равен нулю. Решая уравнение , находим, что 
2. Найти спектр и резольвентное множество данного оператора А в пространстве .
Пример 1. .
Решение.Найдем сначала точечный спектр оператора А. Рассмотрим уравнение с неизвестной функцией х из 
, (1)
то есть
(2)
Требуется найти те значения параметра , при которых это уравнение имеет ненулевое решение. Но из (2) следует, что при , а тогда по непрерывности при всех t. Значит, уравнение (2) не имеет ненулевых непрерывных решений ни при каких . Таким образом, Ø.
Рассмотрим теперь уравнение ( )
, (3)
то есть
. (4)
Резольвентное множество состоит из тех значений , при которых оператор обратим, т. е. при таких значениях уравнение (4) имеет единственное непрерывное решение х для любого непрерывного у.
Если , то уравнение (4) однозначно разрешимо относительно , а именно, . В этом случае .
Если же , то уравнение (4) разрешимо в пространстве не для всех (например, оно не имеет решения при , так как из равенства (4) следует, что ). В этом случае .
Итак, , .
Пример 2. .
Решение. Рассмотрим уравнение , т. е.
. (5)
Если , то это уравнение имеет ненулевое решение (подходит любая непрерывная функция, для которой , например, функция ). Значит, .
Если , то, разделив на ,из уравнения (5) выводим, что его решение должно иметь вид (k и b – неопределенные коэффициенты). Тогда .
Подставив эти значения в (5), получим , откуда

Из первого равенства системы следует, что или . В случае система имеет ненулевое решение (например ). А если , то система, как легко проверить, имеет только нулевое решение. Итак, уравнение (5) имеет ненулевое решение лишь при . Значит, .
Для нахождения всего спектра будем рассуждать как в примере 1, то есть рассмотрим уравнение
,
или
, (6)
где . Из (6) следует, что
.
Подставив в (6) значение , получим . Полагая в (6) , находим, что
.
Значит, если , то решение уравнения (6) имеет вид
.
Таким образом, при уравнение (6) однозначно разрешимо в для любого у из . Итак, .
3. Найти собственные значения, точки непрерывного и точки остаточного спектров оператора А в пространстве , если .
Пример 1. .
Решение.Применяя к выражению метод интервалов, получим

Отметим, что множество значений E(a)этой функции есть отрезок (рисунок 8). Рассмотрим уравнение , то есть , или
. (7)
Если , то уравнение (7) имеет только нулевое решение. Если , то .

Рисунок 8 – График функции 
Тогда уравнение (7) имеет ненулевое решение (например, изображенное графически на рисунке ). Значит, . Рассуждая аналогично при , получим, что .
Если , то должно быть равно нулю всюду, за исключением одной точки (в которой ). По непрерывности всюду на отрезке . Значит, точки интервала не принадлежат точечному спектру. Итак, 
Рисунок 9 – График ненулевого решения уравнения (7)
Рассмотрим теперь уравнение (где )

то есть
. (8)
Если , то уравнение (8) имеет для любого у из единственное непрерывное решение
.
Значит, значения , не принадлежащие отрезку , являются регулярными.
Рассмотрим число . Тогда существует , такое, что , и уравнение (8) разрешимо не для любого (почему?). Значит, .
Покажем, что все принадлежат остаточному спектру. По определению образа оператора,
.
Из того, что для любого существует такое, что , следует, что при этих для любой функции выполняется условие 1): .Поэтому точка1не является точкой прикосновения для , а стало быть, . Значит, , а непрерывный спектр оператора А − пустое множество. Итак, Ø .
4.Найти спектр оператора , .
Пример 1. .
Решение. Данный оператор имеет вид

Рассмотрим уравнение . Оно равносильно бесконечной системе уравнений
.
Если , то эта система имеет ненулевое решение (например, вида en). При других система имеет только нулевое решение. Таким образом, . Так как спектр − замкнутое множество, то он содержит свои предельные точки, в данном случае 3/2; 0; -1. Значит, он содержит и замыкание = .
Предположим теперь, что , и рассмотрим уравнение
,
т. е. бесконечную систему линейных уравнений ( )
. (9)
Ее решение дается равенствами ( )
.
Выясним, принадлежит ли найденная последовательность пространству . Так как , то . Тогда
,
так как . Следовательно, если , то уравнение (9) однозначно разрешимо в при любом . Значит, в этом случае . Итак,
.
5.Выяснить, может ли следующее множество быть спектром некоторого линейного ограниченного оператора. В случае положительного ответа привести пример такого оператора.
Рекомендуемые страницы:
|