Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1.Найти спектр данного оператора .




1.Найти спектр данного оператора .

Пример 1.

Решение. Известно, что спектр оператора в конечномерноли пространстве состоит из собственных значений. Таким образом, нас интересуют те значения параметра , при которых уравнение имеет ненулевые решения. Но это уравнение равносильно следующей однородной системе линейных уравнений:

,

главный определитель которой равен . По следствию из правила Крамера эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель равен нулю. Решая уравнение , находим, что

 

2. Найти спектр и резольвентное множество данного оператора А в пространстве .

 

Пример 1. .

 

Решение.Найдем сначала точечный спектр оператора А. Рассмотрим уравнение с неизвестной функцией х из

, (1)

то есть

(2)

Требуется найти те значения параметра , при которых это уравнение имеет ненулевое решение. Но из (2) следует, что при , а тогда по непрерывности при всех t. Значит, уравнение (2) не имеет ненулевых непрерывных решений ни при каких . Таким образом, Ø.

Рассмотрим теперь уравнение ( )

, (3)

то есть

. (4)

Резольвентное множество состоит из тех значений , при которых оператор обратим, т. е. при таких значениях уравнение (4) имеет единственное непрерывное решение х для любого непрерывного у.

Если , то уравнение (4) однозначно разрешимо относительно , а именно, . В этом случае .

Если же , то уравнение (4) разрешимо в пространстве не для всех (например, оно не имеет решения при , так как из равенства (4) следует, что ). В этом случае .

Итак, , .

 

Пример 2..

 

Решение. Рассмотрим уравнение , т. е.

. (5)

Если , то это уравнение имеет ненулевое решение (подходит любая непрерывная функция, для которой , например, функция ). Значит, .

Если , то, разделив на ,из уравнения (5) выводим, что его решение должно иметь вид (k и b – неопределенные коэффициенты). Тогда .

Подставив эти значения в (5), получим , откуда

Из первого равенства системы следует, что или . В случае система имеет ненулевое решение (например ). А если , то система, как легко проверить, имеет только нулевое решение. Итак, уравнение (5) имеет ненулевое решение лишь при . Значит, .

Для нахождения всего спектра будем рассуждать как в примере 1, то есть рассмотрим уравнение

,

или

, (6)

где . Из (6) следует, что

.

Подставив в (6) значение , получим . Полагая в (6) , находим, что

.

Значит, если , то решение уравнения (6) имеет вид

.

Таким образом, при уравнение (6) однозначно разрешимо в для любого у из . Итак, .

 

3. Найти собственные значения, точки непрерывного и точки остаточного спектров оператора А в пространстве , если .

 

Пример 1. .

 

Решение.Применяя к выражению метод интервалов, получим

Отметим, что множество значений E(a)этой функции есть отрезок (рисунок 8). Рассмотрим уравнение , то есть , или

. (7)

Если , то уравнение (7) имеет только нулевое решение. Если , то .

 

Рисунок 8 – График функции

 

Тогда уравнение (7) имеет ненулевое решение (например, изображенное графически на рисунке ). Значит, . Рассуждая аналогично при , получим, что .

Если , то должно быть равно нулю всюду, за исключением одной точки (в которой ). По непрерывности всюду на отрезке . Значит, точки интервала не принадлежат точечному спектру. Итак,

 

Рисунок 9 – График ненулевого решения уравнения (7)

 

Рассмотрим теперь уравнение (где )

 

то есть

. (8)

Если , то уравнение (8) имеет для любого у из единственное непрерывное решение

.

Значит, значения , не принадлежащие отрезку , являются регулярными.

Рассмотрим число . Тогда существует , такое, что , и уравнение (8) разрешимо не для любого (почему?). Значит, .

Покажем, что все принадлежат остаточному спектру. По определению образа оператора,

.

Из того, что для любого существует такое, что , следует, что при этих для любой функции выполняется условие 1): .Поэтому точка1не является точкой прикосновения для , а стало быть, . Значит, , а непрерывный спектр оператора А − пустое множество. Итак, Ø .

 

4.Найти спектр оператора , .

 

Пример 1. .

 

Решение. Данный оператор имеет вид

Рассмотрим уравнение . Оно равносильно бесконечной системе уравнений

.

Если , то эта система имеет ненулевое решение (например, вида en). При других система имеет только нулевое решение. Таким образом, . Так как спектр − замкнутое множество, то он содержит свои предельные точки, в данном случае 3/2; 0; -1. Значит, он содержит и замыкание = .

Предположим теперь, что , и рассмотрим уравнение

,

т. е. бесконечную систему линейных уравнений ( )

. (9)

Ее решение дается равенствами ( )

.

Выясним, принадлежит ли найденная последовательность пространству . Так как , то . Тогда

,

так как . Следовательно, если , то уравнение (9) однозначно разрешимо в при любом . Значит, в этом случае . Итак,

.

 

5.Выяснить, может ли следующее множество быть спектром некоторого линейного ограниченного оператора. В случае положительного ответа привести пример такого оператора.

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 5221. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия