Примеры решения типовых задач. 1.Найти спектр данного оператора .

1. Найти спектр данного оператора .

Пример 1.

Решение. Известно, что спектр оператора в конечномерноли пространстве состоит из собственных значений. Таким образом, нас интересуют те значения параметра , при которых уравнение имеет ненулевые решения. Но это уравнение равносильно следующей однородной системе линейных уравнений:

,

главный определитель которой равен . По следствию из правила Крамера эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель равен нулю. Решая уравнение , находим, что

 

2. Найти спектр и резольвентное множество данного оператора А в пространстве .

 

Пример 1. .

 

Решение. Найдем сначала точечный спектр оператора А. Рассмотрим уравнение с неизвестной функцией х из

, (1)

то есть

(2)

Требуется найти те значения параметра , при которых это уравнение имеет ненулевое решение. Но из (2) следует, что при , а тогда по непрерывности при всех t. Значит, уравнение (2) не имеет ненулевых непрерывных решений ни при каких . Таким образом, Ø.

Рассмотрим теперь уравнение ()

, (3)

то есть

. (4)

Резольвентное множество состоит из тех значений , при которых оператор обратим, т. е. при таких значениях уравнение (4) имеет единственное непрерывное решение х для любого непрерывного у.

Если , то уравнение (4) однозначно разрешимо относительно , а именно, . В этом случае .

Если же , то уравнение (4) разрешимо в пространстве не для всех (например, оно не имеет решения при , так как из равенства (4) следует, что ). В этом случае .

Итак, , .

 

Пример 2. .

 

Решение. Рассмотрим уравнение , т. е.

. (5)

Если , то это уравнение имеет ненулевое решение (подходит любая непрерывная функция, для которой , например, функция ). Значит, .

Если , то, разделив на ,из уравнения (5) выводим, что его решение должно иметь вид (k и b – неопределенные коэффициенты). Тогда .

Подставив эти значения в (5), получим , откуда

Из первого равенства системы следует, что или . В случае система имеет ненулевое решение (например ). А если , то система, как легко проверить, имеет только нулевое решение. Итак, уравнение (5) имеет ненулевое решение лишь при . Значит, .

Для нахождения всего спектра будем рассуждать как в примере 1, то есть рассмотрим уравнение

,

или

, (6)

где . Из (6) следует, что

.

Подставив в (6) значение , получим . Полагая в (6) , находим, что

.

Значит, если , то решение уравнения (6) имеет вид

.

Таким образом, при уравнение (6) однозначно разрешимо в для любого у из . Итак, .

 

3. Найти собственные значения, точки непрерывного и точки остаточного спектров оператора А в пространстве , если .

 

Пример 1. .

 

Решение. Применяя к выражению метод интервалов, получим

Отметим, что множество значений E (a)этой функции есть отрезок (рисунок 8). Рассмотрим уравнение , то есть , или

. (7)

Если , то уравнение (7) имеет только нулевое решение. Если , то .

 

Рисунок 8 – График функции

 

Тогда уравнение (7) имеет ненулевое решение (например, изображенное графически на рисунке). Значит, . Рассуждая аналогично при , получим, что .

Если , то должно быть равно нулю всюду, за исключением одной точки (в которой ). По непрерывности всюду на отрезке . Значит, точки интервала не принадлежат точечному спектру. Итак,

 

Рисунок 9 – График ненулевого решения уравнения (7)

 

Рассмотрим теперь уравнение (где )

 

то есть

. (8)

Если , то уравнение (8) имеет для любого у из единственное непрерывное решение

.

Значит, значения , не принадлежащие отрезку , являются регулярными.

Рассмотрим число . Тогда существует , такое, что , и уравнение (8) разрешимо не для любого (почему?). Значит, .

Покажем, что все принадлежат остаточному спектру. По определению образа оператора,

.

Из того, что для любого существует такое, что , следует, что при этих для любой функции выполняется условие 1): . Поэтому точка 1 не является точкой прикосновения для , а стало быть, . Значит, , а непрерывный спектр оператора А − пустое множество. Итак, Ø .

 

4. Найти спектр оператора , .

 

Пример 1. .

 

Решение. Данный оператор имеет вид

Рассмотрим уравнение . Оно равносильно бесконечной системе уравнений

.

Если , то эта система имеет ненулевое решение (например, вида e_n). При других система имеет только нулевое решение. Таким образом, . Так как спектр − замкнутое множество, то он содержит свои предельные точки, в данном случае 3/2; 0; -1. Значит, он содержит и замыкание = .

Предположим теперь, что , и рассмотрим уравнение

,

т. е. бесконечную систему линейных уравнений ()

. (9)

Ее решение дается равенствами ()

.

Выясним, принадлежит ли найденная последовательность пространству . Так как , то . Тогда

,

так как . Следовательно, если , то уравнение (9) однозначно разрешимо в при любом . Значит, в этом случае . Итак,

.

 

5. Выяснить, может ли следующее множество быть спектром некоторого линейного ограниченного оператора. В случае положительного ответа привести пример такого оператора.