Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1.Доказать, что данная функция задает скалярное произведение в ( − линейное пространство над полем




1.Доказать, что данная функция задает скалярное произведение в ( − линейное пространство над полем ).

 

Пример 1. ,

.

Решение.Далее положим для краткости .Функция определена для любых в силу неравенства

.

Остальные аксиомы скалярного произведения легко проверяются. Проверим, например, вторую аксиому:

.

Следовательно, данная функция задает скалярное произведение в пространстве .

2.В гильбертовом пространстве найти проекцию вектора на заданное подпространство .

Пример 1.

,

.

Решение.По определению проекции требуется найти такой вектор , что , то есть

.

Ясно, что это условие может выполняться для любых в том и только в том случае, если

Преобразуем эту систему:

,

,

Решая систему, получим .

Значит, проекция вектора на подпространство есть вектор

3.Доказать, что в указанном нормированном пространстве со стандартной нормой нельзя ввести скалярное произведение, порождающее эту норму.

 

Пример 1..

Решение.Допустим противное, то есть что в можноввести скалярное произведение, порождающее стандартную норму. Тогда (как и в любом предгильбертовом пространстве) должно выполняться равенство параллелограмма:

. (1)

Но если , то легко подсчитать, что

, , , .

Подстановка этих данных в (1) приводит к противоречию.

4.Вычислить угол между векторами в пространстве над .

 

Пример 1., , .

Решение.По определению угол между ненулевыми векторами х и у удовлетворяет соотношениям

.

Поскольку в нашем случае

,

то , а тогда искомый угол равен .

 

5.Становится ли система векторов после нормировки ортонормированным базисом пространства , если (единица стоит на n-ном месте)?

Пример 1. , .

 

Решение.Легко проверить, что для любых (проверьте). Кроме того, система обладает свойством максимальности. Действительно, возьмем и допустим, что . Тогда . Отсюда , т. е. . Итак, система максимальна. Значит, после нормировки станет ортонормированным базисом (почему?).

 

6.Для данного подмножества М гильбертова пространства найти ортогональное дополнение .

 

Пример 1. , при .

Решение. Заметим, что любую функцию можно представить в виде , причем

, .

Пусть теперь . Тогда , а так как , то . Значит,

откуда следует, что почти всюду на .

Обратно, если почти всюду на , то , то есть .

Значит, почти всюду при .

 

Пример 2. , .

 

Решение. Введем обозначение . Тогда имеем

.

Пусть

- одномерное подпространство, порожденное функцией . Тогда

.

Следовательно, , то есть .







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 2266. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия