Примеры решения типовых задач. Решение. Нам нужно решить уравнение

1. Решить уравнение (1) при .

Пример 1. .

Решение. Нам нужно решить уравнение

,

то есть

. (2)

Введем обозначения:

(3)

Тогда из (2) заключаем, что решение данного уравнения имеет вид

(4)

с неопределенными коэффициентами a и b. Для нахождения a и b подставим выражение (4) в систему (3):

или после вычисления интегралов в правых частях:

Отсюда . Подставляя эти значения в (4), окончательно получаем .

2. Не решая уравнения (1), определите, при каких оно имеет решение в пространстве (здесь мы полагаем ).

Пример 1. .

Решение. Рассматривается уравнение

. (5)

В соответствии с теоремой Фредгольма, данное уравнение разрешимо для тех и только тех , которые ортогональны любому решению сопряженного однородного уравнения.

Составим сопряженное однородное уравнение:

или

.

Введем обозначения

(6)

Тогда решение сопряженного однородного уравнения принимает вид

. (7)

Подставив (7) в (6), получим систему уравнений

или после вычисления интегралов,

Отсюда , а − произвольная постоянная. Следовательно, решение сопряженного однородного уравнения есть

,

где С − произвольная постоянная. Значит, данное уравнение разрешимо для тех и только тех , для которых

.

3. При каких значениях параметра уравнение (1) разрешимо в пространстве при любой функции из ?

Пример 1. .

Решение. Рассматрим уравнение

.

В соответствии с теоремой Фредгольма данное уравнение разрешимо при любой функции тогда и только тогда, когда соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение.

Решим соответствующее однородное уравнение

,

или

Введем обозначения

(8)

Тогда

. (9)

Подставив (9) в (8), получим

После вычисления интегралов получаем систему

или

Последняя система (а вместе с ней и соответствующее однородное уравнение) имеет только нулевое решение, если и только если и . Значит, данное уравнение разрешимо в пространстве при любой функции тогда и только тогда, когда .