Гильбертовы пространства и интегральные уравнения

Тема 5.1

Гильбертовы пространства. Основные понятия

 

Определение. Пусть − векторное пространство над полем К

Отображение ,обладающее следующими свойствами:

1)

2) ;

3) функционал линеен для любого у,

называется скалярным произведением. Пространство L, наделенное скалярным произведением, напзывается предгильбертовым.

Отметим, что вместо часто пишут.

Определение. Предгильбертово пространство Н, полное относительно нормы

,

называется гильбертовым.

Определение. Пусть − предгильбертово пространство. Векторы. х, у из L называются ортогональными (пишут ), если

Определение. Система векторов называется ортогональной, если входящие в нее векторы попарно ортогональны.

Определение. Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если при всех .

Определение. Счетная ортонормированная система векторов называется ортонормированным базисом (о.н.б.), если каждый вектор х из L разлагается в ряд Фурье по этой системе, т. е. имеет место равенство

.

Определение. Система векторов называется максимальной, если из того, что , следует, что х =0.

Определение. Система векторов называется полной, если линейная оболочка этой системы всюду плотна.

Теорема (о базисе). Для счетной ортонормированной системы следующие утверждения равносильны:

1) - о. н. б.;

2) максимальна;

3) полна.

Определение. Пусть L – подпространство предгильбертова пространства Е, . Вектор называется проекцией вектора х на подпространство L, если .

Определение. Пусть М – подмножество предгильбертова пространства Е. Ортогональным дополнением множества М называется множество

.

Теорема (о разложении). Для замкнутого подпространства Е гильбертова пространства Н имеет место равенство

.

Следствие. Для замкнутого подпространства Е гильбертова пространства Н имеет место равенство

 

5.1.1 Пусть − заданное векторное пространство над полем . Проверить аксиомы скалярного произведения для функции (таблица 5.1.1).

 

Таблица 5.1.1

 

Вариант
1	2	3

 

Окончание таблицы 5.1.1

 

1	2	3

 

5.1.2 В гильбертовом пространстве найти проекцию вектора на заданное подпространство (таблица 5.1.2).

Таблица 5.1.2

 

Вариант
1	2	3	4
			,
			,
			,

 

 

Окончание таблицы 5.1.2

 

1	2	3	4

 

5.1.3. Доказать, что в указанном нормированном пространстве со стандартной нормой нельзя ввести скалярное произведение, порождающее эту норму (таблица 5.1.3).

 

Таблица 5.1.3

 

Вариант	X	Вариант	X

 

5.1.4. Вычислить угол между данными векторами : а) в пространстве , б) в пространстве (пространства считать вещественными) (таблица 5.1.4).

 

Таблица 5.1.4

 

Вариант

 

5.1.5. Становится ли система векторов после нормировки ортонормированным базисом пространства (мы полагаем единица стоит на n -ном месте) (таблица 5.1.5).

 

Таблица 5.1.5

 

Вариант
1	2	3	4

Окончание таблицы 5.1.5

 

1	2	3	4

 

5.1.6. Для данного подмножества М гильбертова пространства найти ортогональное дополнение (таблица 5.1.6).

 

Таблица 5.1.6

 

Вариант		М
		при
		при

Окончание таблицы 5.1.6

 

1	2	3
		при
		при