Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1. Используя теоремы об общем виде линейных ограниченных функционалов в различных пространствах, выяснить




 

1. Используя теоремы об общем виде линейных ограниченных функционалов в различных пространствах, выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму.

 

Пример 1. , .

 

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , для любого существует единственный вектор , такой, что для любого выполняется равенство . Обратно, если выполняется это равенство, то , причем . Рассмотрим вектор , у которого , , , а остальные координаты равны нулю. Тогда , и для этого вектора . В силу указанной теоремы является линейным ограниченным функционалом в пространстве , и

.

 

Пример 2. , .

 

Решение. Рассмотрим вектор

.

Для этого вектора выполняется равенство . Но (почему?). Значит, в силу теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве функционал не является линейным ограниченным.

 

Пример 3. , .

 

Решение.По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве для любого существует единственный вектор , такой, что выполняется равенство

,

и обратно. При этом . Рассмотрим вектор , для которого . Так как , то является линейным ограниченным функционалом, причем .

 

Пример 4. , .

Решение.По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , для любого существует единственный вектор , такой, что выполняется равенство , и обратно. При этом . В данном случае , а поэтому .

Рассмотрим вектор , такой, что , а остальные . Для этого вектора . Так как , то является линейным ограниченным функционалом, причем

.

 

Пример 5. , .

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве при для любого существует единственный вектор , такой, что выполняется равенство , и обратно. При этом . В данном случае , тогда . Преобразуем интеграл

Функция

 

принадлежит , так как функция интегрируема по Лебегу на отрезке . Отсюда в силу указанной теоремы является линейным ограниченным функционалом, причем

.

 

Пример 6. , .

 

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве для любого существует единственная непрерывная слева функция , такая, что и выполняется равенство , и обратно, причем . Подберем функцию так, чтобы . При этом мы будем пользоваться следующей формулой:

(1)

которая справедлива, если – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, имеющая на точки разрыва первого рода со скачками соответственно, а вне точек разрыва ограниченную производную. Преобразуем , выполнив в интеграле замену . Тогда

.

Ввиду формулы (1) отсюда следует, что имеет 2 точки разрыва первого рода: со скачком в этой точке и со скачком . При этом на интервалах непрерывности должно выполняться следующее равенство:

.

Поэтому на интервалах непрерывности, содержащихся в отрезке , функция имеет вид , а на интервалах непрерывности, содержащихся в отрезке , функция постоянна (со своей константой на каждом интервале!). Учитывая, что функция согласно теореме должна быть непрерывной слева на отрезке и удовлетворять условию , получим (рисунок 7):

Так как

,

то . Значит, является линейным ограниченным функционалом, причем .

 

 

Рисунок 7 – График функции

 

2. Пусть Х – банахово пространство над полем К. Задает ли данная формула линейный ограниченный функционал ? В случае положительного ответа найти его норму.

Пример 1. , .

 

Решение. Очевидно, что функционал линеен. Оценим сверху:

, (2)

т. е. число 3 является константой ограниченности для . Значит, − ограниченный линейный функционал, причем

. (3)

Подберем ненулевой вектор так, чтобы неравенства (2) обратились в равенства. Подходит . Имеем , . Следовательно,

(4)

Из (3) и (4) заключаем, что .

 

Пример 2. , .

Решение.Очевидно, что − линейный функционал. Так как

,

то ограничен, причем (см. пример 1)

. (5)

Возьмем . Имеем , . Значит (см. пример 1),

. (6)

Из неравенств (5) и (6) получаем .

 

Пример 3. , .

Решение.Очевидно, − линейный функционал. Так как

, (7)

то ограничен, причем (см. пример 1)

. (8)

Подберем теперь непрерывную функцию так, чтобы выполнялись следующие условия, гарантирующие, что все неравенства в (7) обращаются в равенства:

.

Например, . Для нее , . Тогда имеем (см. пример 1)

. (9)

Вследствие неравенств (8) и (9) получаем .







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 1129. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия