1. Используя теоремы об общем виде линейных ограниченных функционалов в различных пространствах, выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму.
Пример 1.
,
.
Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве
, для любого
существует единственный вектор
, такой, что для любого
выполняется равенство
. Обратно, если выполняется это равенство, то
, причем
. Рассмотрим вектор
, у которого
,
,
, а остальные координаты равны нулю. Тогда
, и для этого вектора
. В силу указанной теоремы
является линейным ограниченным функционалом в пространстве
, и
.
Пример 2.
,
.
Решение. Рассмотрим вектор
.
Для этого вектора выполняется равенство
. Но
(почему?). Значит, в силу теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве
функционал
не является линейным ограниченным.
Пример 3.
,
.
Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве
для любого
существует единственный вектор
, такой, что выполняется равенство
,
и обратно. При этом
. Рассмотрим вектор
, для которого
. Так как
, то
является линейным ограниченным функционалом, причем
.
Пример 4.
,
.
Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве
, для любого
существует единственный вектор
, такой, что
выполняется равенство
, и обратно. При этом
. В данном случае
, а поэтому
.
Рассмотрим вектор
, такой, что
, а остальные
. Для этого вектора
. Так как
, то
является линейным ограниченным функционалом, причем
.
Пример 5.
,
.
Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве
при
для любого
существует единственный вектор
, такой, что
выполняется равенство
, и обратно. При этом
. В данном случае
, тогда
. Преобразуем интеграл

Функция

принадлежит
, так как функция
интегрируема по Лебегу на отрезке
. Отсюда в силу указанной теоремы
является линейным ограниченным функционалом, причем
.
Пример 6.
,
.
Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве
для любого
существует единственная непрерывная слева функция
, такая, что
и
выполняется равенство
, и обратно, причем
. Подберем функцию
так, чтобы
. При этом мы будем пользоваться следующей формулой:
(1)
которая справедлива, если
– кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, имеющая на
точки разрыва
первого рода со скачками
соответственно, а вне точек разрыва ограниченную производную. Преобразуем
, выполнив в интеграле замену
. Тогда
.
Ввиду формулы (1) отсюда следует, что
имеет 2 точки разрыва первого рода:
со скачком в этой точке
и
со скачком
. При этом на интервалах непрерывности должно выполняться следующее равенство:
.
Поэтому на интервалах непрерывности, содержащихся в отрезке
, функция
имеет вид
, а на интервалах непрерывности, содержащихся в отрезке
, функция
постоянна (со своей константой на каждом интервале!). Учитывая, что функция
согласно теореме должна быть непрерывной слева на отрезке
и удовлетворять условию
, получим (рисунок 7):

Так как
,
то
. Значит,
является линейным ограниченным функционалом, причем
.

Рисунок 7 – График функции 
2. Пусть Х – банахово пространство над полем К. Задает ли данная формула линейный ограниченный функционал
? В случае положительного ответа найти его норму.
Пример 1.
,
.
Решение. Очевидно, что функционал
линеен. Оценим
сверху:
, (2)
т. е. число 3 является константой ограниченности для
. Значит,
− ограниченный линейный функционал, причем
. (3)
Подберем ненулевой вектор
так, чтобы неравенства (2) обратились в равенства. Подходит
. Имеем
,
. Следовательно,
(4)
Из (3) и (4) заключаем, что
.
Пример 2.
,
.
Решение. Очевидно, что
− линейный функционал. Так как
,
то
ограничен, причем (см. пример 1)
. (5)
Возьмем
. Имеем
,
. Значит (см. пример 1),
. (6)
Из неравенств (5) и (6) получаем
.
Пример 3.
,
.
Решение. Очевидно,
− линейный функционал. Так как
, (7)
то
ограничен, причем (см. пример 1)
. (8)
Подберем теперь непрерывную функцию
так, чтобы выполнялись следующие условия, гарантирующие, что все неравенства в (7) обращаются в равенства:
.
Например,
. Для нее
,
. Тогда имеем (см. пример 1)
. (9)
Вследствие неравенств (8) и (9) получаем
.