Вопрос 10 Основной закон динамики вращения

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 1.20): М = [ rF ].

Здесь М – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращенииот r к F.

Модуль момента силы

М = Fr sinα= Fl

(1.47)

где α – угол между r и F; r sin α= l – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 1.22). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α; – угол между направлением силы и радиус-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ; точка приложения В проходит путь ds=rd φ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

-

dA = F sin α r dφ;.

Учитывая (1.47), можем записать

dA = M _z dφ;

где Fr sin α=Fl=M _z – момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA = dT,но , поэтому , или

(1.48)

Уравнение (1.48) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

(1.49)

где J – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

L = [ rр ] = [ r, m v ],

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = m v – импульс материальной точки (рис. 1.22); L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р. Модуль вектора момента импульса

L = rp sin α = mvr sin α = pl,

где α – угол между векторами r и р, l – плечо вектора p относительно точки О.