Студопедия — Приближенное вычисление суммы ряда
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Приближенное вычисление суммы ряда






Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда полагают , пренебрегая остатком . Чтобы оценить ошибку, допускаемую при этом, нужно оценить остаток.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна модулю остатка ряда .

 

Если требуется найти сумму ряда с точностью до ε > 0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось неравенство .

 

Если даны два сходящихся знакоположительных ряда и , причем аn< вn, то ряд называется мажорирующим рядом по отношению к ряду .

 

 

Теорема 1. (Оценка остатка знакоположительного ряда).

Остаток мажорирующего ряда Rм всегда больше или равен остатку основного

ряда Rn: .

 

 

Теорема 2. Для сходящегося знакоположительного ряда, члены которого монотонно

убывают, начиная с (n+1)-го, справедлива следующая оценка остатка

, где f(x) – ф-ция, используемая в интегральном признаке Коши.

 

 

Теорема 3. (Оценка остатка знакопеременного ряда).

Пусть дан абсолютно сходящийся ряд . Тогда абсолютная величина его

n–го остатка Rn не превосходит n–го остатка ряда , составленного из

абсолютных величин членов этого ряда .

 

Теорема 4. (Оценка остатка знакочередующегося ряда).

Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–ый

остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных

членов .

 

Пример 1. Вычислить сумму ряда с точностью до 0.1.

 

Решение. Оценим остаток ряда по теореме 2. .

 

Если взять первые 10 членов ряда, то остаток . (с точностью до 0.1).

 

Пример 2. Вычислить сумму ряда с точностью до 0.1.

 

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который является мажорирующим для исходного ряда. Это убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1/5, поэтому сходящаяся. Следовательно по теореме 1остаток исходного ряда меньше остатка вспомогательного ряда:

 

Следовательно, нужно взять сумму первых трех членов ряда:

 

(с точностью до 0.002)

 

 

Пример 3. Вычислить сумму ряда с точностью до 0.01.

Решение. Данный ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому .

.

При n = 1 получаем .

При n = 2 получаем .

При n = 3 получаем .

Получим, что для вычисления суммы ряда с заданной точностью достаточно взять три первых члена ряда, погрешность вычисления определяется четвертым членом. Итак

.







Дата добавления: 2015-08-18; просмотров: 6541. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия