Студопедия — Абсолютная сходимость рядов.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Абсолютная сходимость рядов.






В этом параграфе будем изучать ряды, члены которых являются действительными числами любого знака.

Опр. Ряд, члены которого имеют как положительные, так и отрицательные члены,

называют знакопеременным.

 

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд (1) и ряд, составленный из его модулей

(2). Тогда, если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится.

 

Опр. Пусть даны два ряда (1) и (2). Если ряд (1) сходится и при этом ряд (2)

сходится, то ряд (1) сходится абсолютно. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)

расходится, то ряд (1) сходится условно.

 

Свойства абсолютно сходящихся рядов

 

1) Слагаемые абсолютно сходящихся рядов можно менять местами, не изменяя сумму ряда. Если ряд сходится условно, то при перемене мест его слагаемых можно получить сумму ряда, равную любому заранее заданному числу, и более того, можно получить ряд расходящийся.

2) Абсолютно сходящиеся ряды в отличие от условно сходящихся можно перемножать. При этом сумма произведения рядов будет равна произведению сумм рядов сомножителей.

 

Схема исследования на сходимость знакочередующихся рядов

 

1. Составляем ряд из абсолютных величин данного знакочередующегося ряда и ииследуем сходимость полученного знакоположительного ряда с помощью одного из достаточных признаков сходимости.

Делаем вывод: если ряд из абсолютных величин сходится, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно, если расходится, то исследуем исходный ряд на условную сходимость, проверяем выполнение признака Лейбница:

Если , то утверждаем, что ряд расходится.

Если , то ряд сходится условно.

Замечание. Если общий член знакочередующегося ряда имеет такой вид, что легко найти , то начинаем исследование с проверки выполнения признака Лейбница.

 

Примеры: Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

 

1) (1) (2) Ряд (1) при α > 0 сходится по Лейбницу. Ряд (2) - эталонный ряд, сходится при α > 1. Следовательно при 0 < α 1 ряд (1) сходится условно и при α > 1 ряд сходится абсолютно.

 

2) (сходится условно). 10)

3) 11)

4) 12)

 

5) 13)

 

6) 14)

 

7) 15)

 

 

8) 16)

 

 

9)

 

 







Дата добавления: 2015-08-18; просмотров: 638. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Менадиона натрия бисульфит (Викасол) Групповая принадлежность •Синтетический аналог витамина K, жирорастворимый, коагулянт...

Разновидности сальников для насосов и правильный уход за ними   Сальники, используемые в насосном оборудовании, служат для герметизации пространства образованного кожухом и рабочим валом, выходящим через корпус наружу...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия