Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена




 

Если ф-ция f(x) является суммой ряда

, (1)

то говорят что ф-ция f(x) разлагается в ряд по степеням (х – с).

Важность такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближенно заменить ф-цию суммой нескольких первых членов степенного ряда, т.е. многочленом.

 

Теорема. Если ф-ция f(x) на интервале разлагается в степенной ряд

, то это разложение

единственное и коэффициенты этого ряда выражаются через значения ф-ции и

ее производной.

 

Доказательство. Дифференцируя этот ряд в интервале сходимости, получаем

 

При х = х0. получаем

Подставляя эти выражения для коэффициентов в формулу разложения (1), получим

Ряд в правой части равенства называется рядом Тейлора ф-ции f(x).

Отметим его частный случай , когда х0 = 0:

 

Последний ряд называют рядом Маклорена.

 

Все рассуждения были сделаны в предположении, что ф-ция f(x) может быть разложена в степенной ряд. Однако, в общем случае, ряд может расходиться, и даже, если он сходится, то к другой ф-ции. Сформулируем необходимое и достаточное условие представление ф-ции степенным рядом.

 

Теорема. Пусть ф-ция f(x) в интервале имеет производные любого порядка. Тогда для любого х, из этого интервала будет справедлива формула Тейлора

Из равенства следует, что ряд Тейлора сходится к ф-ции f(x) в интервале , тогда и только тогда, когда .

 

Теорема. Если в интервале ф-ция f(x) имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом

, то в этом интервале ряд Тейлора для этой ф-ции сходится и его сумма равна f(x) .

Замечание. В тех случаях, когда применение теоремы затруднительно, поступают иначе. Составив ряд Тейлора для ф-ции f(x), определяют сначала интервал его сходимости и лишь затем стараются доказать ,что при значениях х, принадлежащих интервалу сходимости.

 

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных ф-ций

Эти разложения получены как непосредственным вычислением коэффициентов ряда, так и с использованием свойств почленного дифференцирования и интегрирования рядов.

 

1. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Итак ряд Маклорена имеет вид

Найдем производные и вычислим их в точке х=0.

.

Так как в любом интервале (-R,R) , то ряд сходится к заданной ф-ции,т.е

2. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Найдем производные и вычислим их в точке х=0.

Итак

 

3. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Воспользуемся разложением .

Очевидно

 

4. Разложим в ряд Маклорена ф-цию .

Очевидно

Воспользуемся разложением ,заменив

 

Таким образом

 

 







Дата добавления: 2015-08-18; просмотров: 2356. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия