Признак сравнения 2

 

Пусть даны два знакоположительных ряда

Если предел отношения этих рядов существует и конечен , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково (сходятся и расходятся одновременно).

 

 

Замечание. При применении признака сравнения данный ряд сопоставляется с одним из эталонных рядов, сходимость и расходимость которых установлена.

Эталонные ряды:

2) Геометрический ряд

 

2) Ряд - .

 

Суть использования признака сравнения, особенно его предельной формы, состоит в том, что нужно для данного ряда организовать эквивалентный ему ряд в виде одного из эталонных рядов и сделать вывод о его сходимости.

 

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

 

Ряд (1) сравним с рядом (2):

Очевидно для n > 2. Ряд = сходится как геометрический ряд (q<1). Следовательно, меньший ряд (1) тем более сходится по признаку сравнения 1.

 

 

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд (1) сравним с рядом (2).

Очевидно . Ряд (2) сходится как геометрический ряд (q<1). Следовательно, меньший ряд (1) тем более сходится по признаку сравнения 1.

 

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Вспомним таблицу эквивалентных б.м. величин . Поэтому сравним ряд (1) с рядом (2). Ряд (2) сходится как геометрический ряд (q<1). Найдем . Следовательно оба ряда ведут себя одинаково и ряд (1) сходится по признаку сравнения 2.

 

Признаки сравнения просты в использовании и очень эффективны, но, к сожалению, не всегда могут быть использованы. Поэтому рассмотрим другие признаки сходимости.