Понятие числового ряда и его сходимости

 

Числовые ряды

 

 

Опр. Пусть задана числовая последовательность . Сумма элементов бесконечной

числовой последовательности называется числовым рядом.

Числа называются членами ряда, n-ый член ряда называется общим членом ряда.

 

Опр. Если все члены ряда а_n > 0(положительны), то ряд называется знакоположительным.

 

Опр. Сумма первых n слагаемых ряда называется n – частичной суммой ряда:

.

Опр. Если предел n – частичной суммы ряда существует и конечен, то ряд называется

сходящимся, в противном случае (предел n – частичной суммы ряда не существует

или равен бесконечности) говорят, что ряд расходится.

. Этот предел называется суммой числового ряда.

,

,

,

.

 

Опр. Остатком ряда после n-го члена (или n-м остатком) R_n называют ряд, полученный из данного путем отбрасывания его n первых членов .

Тогда сумма ряда может быть записана выражением . Так как сумма S_n первых n членов ряда всегда конечное число, то сходимость ряда определяется сходимостью его остатка R_n=S – S_n.

 

Свойства сходящихся числовых рядов

 

1. Ряд и его остаток либо одновременно сходятся, либо расходятся. Остаток сходящегося ряда стремится к нулю: .

2. Сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать, умножать все члены сходящегося ряда на постоянное число, перемножать ряды как два многочлена, и при этом полученные ряды будут являться сходящимися, т.е если , ,

то , , .