Свойства степенных рядов

Теорема 1. Всякий степенной ряд (2) с радиусом сходимости R > 0 сходится равномерно

на всяком отрезке, содержащемся в интервале сходимости (-R,R).

Теорема 2. Сумма степенного ряда (2) есть ф-ция, непрерывная в каждой точке интервала

сходимости ряда.

Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем в результате этих операций получаются степенные ряды, имеющие тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Интегрирование и дифференцирование степенных рядов позволяет заданные ряды сводить к уже известным рядам.

Пример 1. Вычислить .

Сопоставим заданному числовому ряду степенной ряд

.

Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера: .

К какому ряду он ближе всего? К ряду геометрической прогрессии

, который равномерно сходится при Исходный ряд можно получить посредством интегрирования ряда геометрической прогрессии

.

Следовательно .

Пример 2. Вычислить .

Сопоставим заданному числовому ряду степенной ряд

. Очевидно ряд сходится при .

Преобразуем ряд геометрической прогрессии к заданному ряду, продифференцировав его:

.