Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства степенных рядов




 

Теорема 1. Всякий степенной ряд (2) с радиусом сходимости R > 0 сходится равномерно

на всяком отрезке, содержащемся в интервале сходимости (-R,R).

Теорема 2. Сумма степенного ряда (2) есть ф-ция, непрерывная в каждой точке интервала

сходимости ряда.

Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем в результате этих операций получаются степенные ряды, имеющие тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Интегрирование и дифференцирование степенных рядов позволяет заданные ряды сводить к уже известным рядам.

 

Пример 1. Вычислить .

Сопоставим заданному числовому ряду степенной ряд

.

Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера: .

К какому ряду он ближе всего? К ряду геометрической прогрессии

, который равномерно сходится при Исходный ряд можно получить посредством интегрирования ряда геометрической прогрессии

.

Следовательно .

 

Пример 2. Вычислить .

Сопоставим заданному числовому ряду степенной ряд

. Очевидно ряд сходится при .

Преобразуем ряд геометрической прогрессии к заданному ряду, продифференцировав его:

.

 







Дата добавления: 2015-08-18; просмотров: 346. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия