Степенные ряды

 

Степенные ряды – это простейшие функциональные ряды.

 

Опр. Степенным рядом называется ряд вида

(1) - степенной ряд

по степеням (х –с). а_n – числа, коэффициенты ряда, с – число.

В простейшем случае с = 0, тогда ряд (1) приобретает вид

(2) – степенной ряд по степеням х.

Очевидно, что путем подстановки от первого ряда можно перейти ко второму, поэтому теорию степенных рядов рассматривают для ряда(2).

 

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится при , то он абсолютно

сходится для любого х, удовлетворяющего условию . Если при

, ряд (2) расходится, то он расходится для любого х,

удовлетворяющего условию .

Следствие. Для каждого степенного ряда (2) существует число R > 0, называемое

радиусом сходимости этого ряда и обладающее следующими свойствами:

при ряд (2) сходится абсолютно,

при ряд (2) расходится.

Промежуток (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда(2). На

концах интервала вопрос о сходимости ряда решается индивидуально для

каждого конкретного ряда.

 

Способы определения радиуса сходимости: 1) по признаку Даламбера, 2) по радикальному признаку Коши.