Стандартное отклонение среднего

Предположим, что результаты измерений величины x распределены нормально около истинного значения X с шириной . Необходимо узнать, какова надёжность среднего значения для N измерений. Для ответа на этот вопрос представим себе, что N измерений повторяются много раз, причём в каждом случае определяется среднее значение . Нас интересует, как распределены полученные значения .

Величина есть простая функция измеренных значений

. (3.7.1)

Поэтому можно найти распределение с помощью расчёта ошибок для косвенных измерений.

Поскольку каждое из измеренных значений распределено нормально, то очевидно, что и также имеют нормальное распределение. Так как истинным значением для является X, то и истинным значением является также X. Следовательно, полученные значения распределены нормально около истинного значения X. Ширину этого распределения можно найти по формуле:

. (3.7.2)

Но:

, (3.7.3)

а из (3.5.1) следует:

. (3.7.4)

Следовательно, вместо (3.5.2) получаем:

(3.7.5)

Эту величину называют стандартным отклонением среднего. Видно, что при значение .

Вывод: значения распределены нормально с центром, равным истинному значению и с шириной ; другими словами, если найдено однажды , то вероятность попадания этого значения в интервал равна 68%.

Для оценки стандартного отклонения среднего, которую обозначим , используют формулу

. (3.7.6)

Величину называют выборочным стандартным отклонением среднего. Видно, что при увеличении числа измерений N растёт точность измерения. Стандартное отклонение среднего при косвенных измерениях может быть определено по формуле:

. (3.7.7)

Пример: определим выражение для стандартного отклонения величины q, которая связана с величинами x, y, z, определяемыми прямыми измерениями, следующим соотношением:

, (3.7.8)

где – точные числа.

Для частных производных получаем:

. (3.7.9)

После подстановки (3.7.9) в (3.7.7) имеем:

. (3.7.10)