Решение. Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:

Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:

i = 1·(cos 90º + i ·sin 90º).

Стало быть,

или

ω _k = cos[(90º + 360º· k)/5] + i ·sin[(90º + 360º· k)/5], k = 0, 1, 2, 3, 4.

При k = 0 имеем ω₀ = cos[(90º + 0º)/5] + i ·sin[(90º + 0º)/5] = cos 18º + i ·sin 18º или

;

При k = 1 имеем ω₀ = cos[(90º + 360º)/5] + i ·sin[(90º + 360º)/5] = cos 90º + i ·sin 90º или

;

При k = 2 имеем ω₀ = cos[(90º + 720º)/5] + i ·sin[(90º + 720º)/5] = cos 162º + i ·sin 162º или

;

При k = 3 имеем ω₀ = cos[(90º + 1080º)/5] + i ·sin[(90º + 1080º)/5] = cos 234º + i ·sin 234º или

;

При k = 4 имеем ω₀ = cos[(90º + 1440º)/5] + i ·sin[(90º + 1440º)/5] = cos 306º + i ·sin 306º или

.

Получили пять корней (рисунок 29.1, b).

Из рисунка 29.1 a, b видно, что изображения этих корней совпадают с вершинами правильного многоугольника с n сторонами, вписанного в окружность, радиус которой равен единице, т. е. модулям данных комплексных чисел.

 

O

x

y

i

–i

–1

O

x

y

i

–i

–1

ω0

ω1

ω0

ω1

ω2

ω3

ω4

a)

b)

 

 

Рисунок 29.1 – Изображение корней: a) 2-ой степени; b) 5-ой степени

 

[kgl].

 

[gl] Тема 30. Показательная и логарифмическая функции. Другие элементарные функции комплексного переменного [:]

Из формулы Эйлера следует представление для e^z:

.

С другой стороны, для любых z ₁ и z ₂ справедливы формулы:

(теорема сложения для показательной функции);

.

Функция e^z является периодической с периодом 2π· i. Область значений W охватывает всю плоскость, кроме её начала – точки O. Область однозначности функции e^z есть вся плоскость, разрезанная вдоль отрицательной части действительной оси.

Натуральный логарифм. Функция, обратная функции w = e ^z в области её однозначности, называется главной ветвью натурального логарифма:

.

Обратное отображение натуральной показательной функции во всей комплексной плоскости обозначают Ln z: если , то

.

Таким образом, Ln z состоит из множества ветвей функции:

.

Пример 30.1. Найти следующие логарифмы: ln(–1), Ln 1, ln i, ln (– i).