Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Обратные тригонометрические функции обозначаются Arcsin z, Arccos z, Arctg z и определяются следующим образом: w = Arcsin z, если sin w = z; w = Arccos z, если cos w = z и w = Arctg z, если tg z = z.

Как известно, тригонометрические функции выражаются через показательную функцию, поэтому естественно ожидать, что функции, обратные тригонометрическим, будут выражаться через логарифм. Действительно, по определению w = Arcsin z, если sin w = z или

,

откуда получаем:

.

Решая это квадратное уравнение относительно e ^{i · w}, имеем:

,

или, что то же,

.

Все значения функции Arcsin z определяются этим равенством.

Аналогично получаются выражения через логарифм для функций: Arccos z и Arctg z.

, .

Так как выражения, записанное под знаком логарифма, отличны от нуля, то функции Arcsin z и Arccos z определены при всех значениях z. Arcsin z и Arccos z – бесконечнозначные функции, что объясняется двузначностью квадратного корня и бесконечнозначностью логарифма. Arctg z – бесконечнозначная функция (за счёт логарифма), определённая при всех значениях z, кроме z = ± i.

Обратные гиперболические функции обозначаются Arsh z (ареасинус z), Arch z (ареакосинус z), Arth z (ареатангенс z) и определяются следующим образом: w = Arsh z, если sh w = z; w = Arch z, если ch w = z и w = Arth z, если th z = z.

Найдём выражения этих функций через логарифм.

По определению w = Arsh z, если или , откуда и, следовательно, .

Таким образом, Arsh z – бесконечнозначная функция, определённая при всех значениях z. Она бесконечнозначна за счёт двузначности квадратного корня и бесконечнозначности логарифма.

По определению w = Arch z, если , и, проведя аналогичные рассуждения, получим:

.

И, наконец, если w = Arth z, то , и, следовательно, можно получить: .

Функция Arth z бесконечнозначная (за счёт логарифма), определённая при всех значениях z ≠ ±1.

 

 

[kgl].