ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В ЛІНІЯХ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Перехідні процеси в ланцюгах з розподіленими параметрами виникають при комутаціях, при передачі неперіодичних сигналів або під впливом зовнішнього електромагнітного поля (наприклад, при грозових розрядах). Для дослідження перехідних процесів в однорідних ланцюгах з розподіленими параметрами користуються диференційними рівняннями (1.1) в поодиноких похідних.

В загальному вигляді рішення цих диференційних рівнянь достатньо складне. Рішення спрощується, якщо знехтувати втратами, т. ч. рахувати, що r₀ та g₀ дорівнюють нулю. В цьому випадку рівняння приймають вигляд

Якщо диференціювати перше рівняння по х:

і підставити друге рівняння, одержимо:

Це диференційне рівняння відомо в математичній фізиці під назвою рівняння коливань струни. Його рішення дане Даламбером і має вигляд:

(1.51)

Де називається швидкістю хвилі і чисельно рівна фазовій швидкості.

Перший доданок подає собою одиночну пряму хвилю напруги, що без зміни переміщається в сторону зростаючих х, т. ч. від початку до кінця ланцюга. Для всіх значень х, при яких х - vt = const, цей доданок має одне і те ж значення, т. ч. хвиля рухається зі швидкістю v=dx/dt.

Другий доданок подає собою одиночну обернену хвилю напруги, що без зміни переміщується в протилежному напрямі.

Для струму справедливий вираз

(1.52)

Вирази (1.51) і (1.52) записуються скорочено

(1.53)

Тут i_п і i_о- пряма і обернена хвилі струму; - хвильовий опір.

Отже, напруга і струм прямої і оберненої хвиль зв'язані законом Ома:

Отже, за відсутності втрат в однорідному ланцюзі з розподіленими параметрами напруга і струм можуть бути представлені як сума і як різниця двох хвиль, які рухаються з однаковою швидкістю в протилежних напрямах, без зміни їхньої форми. При цьому в будь-якій точці однорідного ланцюга відношення напруги і струму для прямої і оберненої хвиль рівно хвильовому опору Z_в.

Якщо на шляху розповсюдження хвилі зустрічається неоднорідність, наприклад повітряна лінія переходить у кабельну або хвиля досягає кінця лінії (розімкнутого, замкнутого на опір, коротко замкненого), відбувається відбивання хвилі. В залежності від характеру неоднорідності відбивання може бути частковим або повним. В першому випадку наряду з відбитою хвилею виникає переломлена хвиля, що розповсюджується за місце порушення однорідності; в другому випадку переломлена хвиля буде відсутня. Позначимо:

u₁, i₁ - напруга і струм в місці відбивання;

u_1п, i_1п - напруга і струм падаючої (прямої) хвилі;

u_1о, i_1о - напруга і струм відбитої (оберненої) хвилі;

u₂, i₂ - напруга і струм переломленої (прямої) хвилі;

Z₁, Z₂ - хвильові опори для прямої і оберненої хвиль (Z₁) і переломленої хвилі (Z₂).

В місці неоднорідності виконується умова рівності напруг і струмів:

Отже,

Підстановка значень

В результаті спільного рішення цих рівнянь знаходяться відбита (u_1о) і переломлена (u₂) хвилі:

Де - коефіцієнт відбивання.

Відповідно струм відбитої хвилі

А струм переломленої хвилі

Останній вираз показує, що струм в кінці лінії після відбивання можна знайти як струм в еквівалентному ланцюзі, в який вмикається напруга, що дорівнює подвійній напрузі падаючої хвилі, і який складається з хвильового опору першої лінії Z₁ і послідовно з'єднаного з ним опору навантаження (в який входить друга лінія своїм хвильовим опором Z₂).