Двойной интеграл.

16.1.1. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция.

Разобьём область D произвольным образом на подобластей (не имеющих общих внутренних точек). Символом будем обозначать площадь области; символом здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:

;

символом обозначим наибольший из диаметров областей:.

В каждой из подобластей выберем произвольную точку, вычислим в этой точке значение функции, и составим интегральную сумму.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при, не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти, ни от выбора точек, то функция называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается.

Если расписать значение через координаты точки, и представить как, получим другое обозначение двойного интеграла:. Итак, кратко,.

Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.

16.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы:если, то - объём прямого цилиндра с основанием высоты; вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью, равна). Когда, это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью, сверху - поверхностью, с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области, а образующие параллельны оси. Двойной интеграл равен объёму этого тела.