Элементы классической теории огибания

Классическая теория огибания применяет средства дифференциальной геометрии и рассматривает вопросы нахождения огибающей к однопараметрическому семейству поверхностей, заданному неявным уравнением, векторным уравнением, а также огибающей двухпараметрического семейства и винтовые поверхности как огибающие поверхности в её винтовом движении. Суть классической теории огибания состоит в том, что огибающая семейства поверхностей определяется системой уравнений:

(1.1)

где - функция, задающая однопараметрическое семейство поверхностей ; - частная производная по переменной .

При переменном значении система (1.1) определяет геометрическое место характеристик , называемое дискриминантной поверхностью. Уравнение последней может быть получено исключением из системы (1.1).

Огибающей семейства поверхностей называется поверхность , которая в некоторой окрестности для каждого значения касается поверхности вдоль кривой на , непрерывно меняются с . Она существует при следующих условиях. Пусть функция обладает в некоторой области пространства непрерывными частными производными , , , не обращающимися одновременно в нуль: . Это означает, что в данной области точки поверхности не являются особыми.

Аналогичными являются условия существования огибающей двухпараметрического семейства поверхностей.

Примером применения классической теории огибания является определения кривой профиля червячной фрезы для обработки шлицевых валиков.