Ре­ше­ние. 2 страница

Ре­ше­ние.

Най­дем пло­щадь грани :

 

От­ре­зок яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, и его вы­со­той. Тогда

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

3. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей боль­шо­го и ма­лень­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 1, 5, 7 и 1, 1, 2, умень­шен­ной на 4 пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2 — пе­ред­ней грани ма­лень­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, из­лиш­не учтен­ной при рас­че­те пло­ща­дей по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­дов:

 

Ответ: 96.

Ответ: 96

4. B 10. Най­ди­те угол мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник где т. к. яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми рав­ных квад­ра­тов. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник – рав­но­сто­рон­ний, по­это­му все его углы равны

Ответ: 60.

Ответ: 60

5. B 10. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в .

Ре­ше­ние.

По за­ко­ну Ар­хи­ме­да объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 9/12 ис­ход­но­го объ­е­ма:

 

.

Ответ: 1500.

Ответ: 1500

6. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

7. B 10. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­та оста­лась преж­ней, сле­до­ва­тель­но, объем умень­шил­ся в 4 раза.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

8. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой нужно найти, яв­ля­ет­ся по­ло­ви­на бо­ко­вой грани па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­той пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да . По­это­му

 

 

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

9. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­та у них общая. По­это­му

 

 

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

10. B 10. Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­ту умень­шить в 3 раза?

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

 

,

где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – вы­со­та ко­ну­са. При умень­ше­нии вы­со­ты в 3 раза объем ко­ну­са также умень­шит­ся в 3 раза.

Ответ: 3.

Ответ: 3

 

Вариант № 3706203

1. B 10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 14 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 2. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

вы­со­та ци­лин­дра равна

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

2. B 10.

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 6. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна про­из­ве­де­нию длины окруж­но­сти, ле­жа­щей в ос­но­ва­нии, на вы­со­ту. По­это­му вы­со­та ци­лин­дра равна 2.

Ответ: 2

3. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­та у них общая. По­это­му

 

 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

4. B 10. В кубе точка — се­ре­ди­на ребра , точка — се­ре­ди­на ребра , точка — се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­ны се­че­ния KM, KL, и LM равны как ги­по­те­ну­зы рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AKM, KLA, и LAM, ко­то­рые равны друг другу по двум ка­те­там. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник LKM яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним. По­это­му угол MLK равен 60°.

Ответ:60.

Ответ: 60

5. B 10. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды , равен 1. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной равна Пло­щадь же рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка с бо­ко­вой сто­ро­ной и углах при ос­но­ва­нии равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка в раз и равна 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

6. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 2, а бо­ко­вое ребро равно 3.

 

Ре­ше­ние.

Тре­бу­ет­ся найти пло­щадь пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той дан­ной тре­уголь­ной приз­мы. По­это­му

 

 

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

7. B 10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 21 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 7. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

вы­со­та ци­лин­дра равна

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

8. B 10. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­че­ны в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

9. B 10.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ре­ше­ние.

Мно­го­гран­ник, объем ко­то­ро­го тре­бу­ет­ся найти, яв­ля­ет­ся пря­мой тре­уголь­ной приз­мой. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник, его пло­щадь равна одной ше­стой пло­ща­ди ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы. Вы­со­той пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся бо­ко­вое ребро, его длина равна 3. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый объем равен 3.

Ответ: 3

10. B 10. Во сколь­ко раз объем ко­ну­са, опи­сан­но­го около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, боль­ше объ­е­ма ко­ну­са, впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду?

 

Ре­ше­ние.

Объ­е­мы дан­ных ко­ну­сов со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний, и, сле­до­ва­тель­но, как квад­ра­ты их диа­мет­ров. Диа­метр впи­сан­но­го ко­ну­са равен сто­ро­не квад­ра­та, диа­метр опи­сан­но­го – диа­го­на­ли квад­ра­та, длина ко­то­рой равна длины сто­ро­ны. По­это­му объем опи­сан­но­го ко­ну­са в 2 раза боль­ше объ­е­ма впи­сан­но­го.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

 

Вариант № 3706416

B 10.

Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а диа­метр ос­но­ва­ния — 6. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

2. B 10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 14 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 2. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

вы­со­та ци­лин­дра равна

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

3. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 2, 3, 1 и двух пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми 2, 1:

 

.

Ответ: 18.

Ответ: 18

4. B 10. В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 3. Най­ди­те объем куба.

Ре­ше­ние.

Ребро куба равно диа­мет­ру впи­сан­но­го в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. От­сю­да имеем:

 

.

Ответ: 216.

Ответ: 216

5. B 10. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

Тогда длина ребра равна

 

Ответ: 5.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Квад­рат диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен сумме квад­ра­тов его из­ме­ре­ний: 36 = 4 + 7 + x ², от­ку­да ис­ко­мая длина ребра x равна 5.

Ответ: 5

6. B 10. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 4. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 16. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна 64. Тогда вы­со­та ци­лин­дра равна

 

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

7. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 5 4, 2 и 2, 2, 4:

 

.

Ответ: 56.

Ответ: 56

8. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­та у них общая. По­это­му

 

 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

9. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­ни­це объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 1, 8, 6 и 1, 3, 1:

 

.

Ответ: 45.

Ответ: 45

10. B 10. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в .

 

Ре­ше­ние.

По за­ко­ну Ар­хи­ме­да объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 9/12 ис­ход­но­го объ­е­ма:

 

.

Ответ: 1500.

Ответ: 1500

Вариант № 3706585

1. B 10. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 4. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 16. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна 64. Тогда вы­со­та ци­лин­дра равна

 

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

2. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти тела равна сумме по­верх­но­стей трех со­став­ля­ю­щих ее па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 2, 3, 5; 1, 3, 5 и 2, 2, 3:

 

.

Ответ: 140.

Ответ: 140

3. B 10. Около шара опи­сан ци­линдр, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна 18. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ре­ше­ние.

По по­стро­е­нию ра­ди­у­сы шара и ос­но­ва­ния ци­лин­дра равны. Пло­щадь по­верх­но­сти ци­лин­дра, с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r и вы­со­той 2 r равна

 

.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара ра­ди­у­са равна , то есть в 1,5 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ци­лин­дра. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 12.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

4. B 10. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в три раза?