Ре­ше­ние. 3 страница

Ре­ше­ние.

Объем шара ра­ди­у­са равен

 

.

При уве­ли­че­нии ра­ди­у­са втрое, объем шара уве­ли­чит­ся в 27 раз.

Ответ: 27.

Ответ: 27

5. B 10. Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его объем уве­ли­чит­ся на 19. Най­ди­те ребро куба.

Ре­ше­ние.

Объем куба с реб­ром равен . Уве­ли­че­ние объ­е­ма равно 19:

 

Решим урав­не­ние:

 

Тем самым, .

Ответ: 2.

Ответ: 2

6. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка L — се­ре­ди­на ребра AC, S — вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 6, а SL = 5. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок SL яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка SAC, а зна­чит, и его вы­со­той. Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды равны, по­это­му

Ответ: 45.

Ответ: 45

7. B 10. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти ок­та­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в 3 раза?

Ре­ше­ние.

При уве­ли­че­нии ребер в 3 раза пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­ю­щих грани ок­та­эд­ра, уве­ли­чат­ся в 9 раз, по­это­му сум­мар­ная пло­щадь по­верх­но­сти также уве­ли­чит­ся в 9 раз.

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

8. B 10. Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го =5, =4, =4. Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

грань яв­ля­ет­ся квад­ра­том со сто­ро­ной 4, а – диа­го­наль этой грани, зна­чит, угол равен

Ответ: 45.

Ответ: 45

9. B 10. Вы­со­та ко­ну­са равна 6, а диа­метр ос­но­ва­ния – 16. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

10. B 10. Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, его вы­со­та и об­ра­зу­ю­щая свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем . В нашем слу­чае , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но, диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

Вариант № 3706631

1. B 10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 21 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 7. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

вы­со­та ци­лин­дра равна

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

2. B 10. Най­ди­те тан­генс угла мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки на от­ре­зок . Угол равен углу . В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем:

Ответ: 2.

Ответ: 2

3. B 10. В ци­лин­дри­че­ский сосуд, в ко­то­ром на­хо­дит­ся 6 лит­ров воды, опу­ще­на де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся в 1,5 раза. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

Ре­ше­ние.

По за­ко­ну Ар­хи­ме­да объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 1/2 ис­ход­но­го объ­е­ма, по­это­му объем де­та­ли равен 3 лит­рам.

Ответ: 3.

Ответ: 3

4. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке, все дву­гран­ные углы ко­то­ро­го пря­мые.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка скла­ды­ва­ет­ся из че­ты­рех пло­ща­дей квад­ра­тов со сто­ро­ной 1, двух пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми 1 и 2 и двух гра­ней (пе­ред­ней и зад­ней), пло­ща­ди ко­то­рых в свою оче­редь скла­ды­ва­ют­ся из трех еди­нич­ных квад­ра­тов каж­дая. Всего 4 + 4 + 6 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

5. B 10. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти шара, если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара вы­ра­жа­ет­ся через его ра­ди­ус фор­му­лой , по­это­му при уве­ли­че­нии ра­ди­у­са вдвое пло­щадь уве­ли­чит­ся в 2² = 4 раза.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

6. B 10. Пло­щадь по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра равна 1,2. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го тет­ра­эд­ра.

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мая по­верх­ность со­сто­ит из 8 рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной, вдвое мень­шей ребра ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра. По­верх­ность ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра со­сто­ит из 16-ти таких тре­уголь­ни­ков (см. рис.), по­это­му ис­ко­мая пло­щадь равна по­ло­ви­не пло­ща­ди по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра и равна 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

7. B 10. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка – центр ос­но­ва­ния, – вер­ши­на, , . Най­ди­те бо­ко­вое ребро .

Ре­ше­ние.

в пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Ответ: 17.

Ответ: 17

8. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де — се­ре­ди­на ребра , — вер­ши­на. Из­вест­но, что , а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му: . Тогда .

Ответ: 2

9. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 3, 5, 5:

 

.

Ответ: 110.

Ответ: 110

10. B 10. Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а диа­метр ос­но­ва­ния — 30. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 17.

Ответ: 17

Вариант № 3706686

1. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 3, 4, 5 и пло­ща­ди двух квад­ра­тов со сто­ро­ной 1:

 

.

Ответ: 92.

Ответ: 92

2. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де – се­ре­ди­на ребра , – вер­ши­на. Из­вест­но, что =5, а =6. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, и его вы­со­той. Тогда

 

Ответ: 45.

Ответ: 45

3. B 10. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми и мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Ре­ше­ние.

рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Ответ: 11.

 

Ответ: 11

4. B 10. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды , равен 1. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной равна Пло­щадь же рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка с бо­ко­вой сто­ро­ной и углах при ос­но­ва­нии равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка в раз и равна 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

5. B 10. Вы­со­та ко­ну­са равна 5, а диа­метр ос­но­ва­ния – 24. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

6. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что ис­ко­мый объём равен раз­но­сти объ­е­ма приз­мы и двух тре­уголь­ных пи­ра­мид, ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той приз­мы:

 

 

По­это­му

 

 

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

7. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 3, объем пи­ра­ми­ды равен 1. Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, точка яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а — вы­со­той пи­ра­ми­ды . Ее объем вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Тогда

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

8. B 10. Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, его вы­со­та и об­ра­зу­ю­щая свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем . В нашем слу­чае , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но, диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

9. B 10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 9 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 3. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

вы­со­та ци­лин­дра равна

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

10. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна , . Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды

Вариант № 3706719

1. B 10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а вы­со­та — 1. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле: ,

зна­чит, .

Ответ: 2

2. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 1, 6, 4 и 1, 4, 4 умень­шен­ной на удво­ен­ную пло­щадь квад­ра­та сто­ро­ной 4:

 

.

Ответ: 84.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 6, 4, 2 умень­шен­ной на 4 пло­ща­ди квад­ра­тов со сто­ро­ной 1:

Ответ: 84

3. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что мно­го­гран­ник яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной дан­но­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Сле­до­ва­тель­но, объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка

 

 

 

Ответ: 30.

Ответ: 30

4. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де — се­ре­ди­на ребра , — вер­ши­на. Из­вест­но, что , а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му: . Тогда .

Ответ: 2

5. B 10. Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 54. Най­ди­те ребро куба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро как , по­это­му при уве­ли­че­нии длины ребра на пло­щадь уве­ли­чит­ся на

 

От­сю­да на­хо­дим, что ребро куба равно

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

6. B 10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на ромба вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и фор­му­лой

 

.

Най­дем пло­щадь ромба

 

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 248.

Ответ: 248

7. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де – се­ре­ди­на ребра , – вер­ши­на. Из­вест­но, что =5, а =6. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.