Ре­ше­ние. 5 страница

2. B 10. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка – центр ос­но­ва­ния, – вер­ши­на, , . Най­ди­те бо­ко­вое ребро .

Ре­ше­ние.

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Ответ: 17.

Ответ: 17

3. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­ни­це объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 5, 5, 4 и 1, 2, 5:

 

.

Ответ: 90.

Ответ: 90

4. B 10. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем ко­ну­са, если его ра­ди­ус ос­но­ва­ния уве­ли­чить в 1,5 раза?

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

 

,

где – пло­щадь ос­но­ва­ния, – вы­со­та ко­ну­са, а – ра­ди­ус ос­но­ва­ния. При уве­ли­че­нии ра­ди­у­са ос­но­ва­ния в 1,5 раза объем ко­ну­са уве­ли­чит­ся в 2,25 раза.

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

5. B 10. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в .

Ре­ше­ние.

По за­ко­ну Ар­хи­ме­да объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 9/12 ис­ход­но­го объ­е­ма:

 

.

Ответ: 1500.

Ответ: 1500

6. B 10. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та приз­мы равна 10. Най­ди­те пло­щадь ее по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии равна 10 и его пло­щадь Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы с пе­ри­мет­ром ос­но­ва­ния равна

 

.

Пол­ная пло­щадь по­верх­но­сти:

 

Ответ: 288.

Ответ: 288

7. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка K – се­ре­ди­на ребра BC, S – вер­ши­на. Из­вест­но, что SK = 4, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 54. Най­ди­те длину ребра AC.

Ре­ше­ние.

Най­дем пло­щадь грани SBC:

 

 

От­ре­зок SK яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SBC, а зна­чит, и его вы­со­той. Тогда

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

8. B 10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а диа­метр ос­но­ва­ния — 1. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле: , зна­чит, .

Ответ: 2

9. B 10. Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

 

 

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус боль­шо­го круга яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом шара. Пло­щадь пер­во­го вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус как , а пло­щадь по­верх­но­сти сферы – как . Видно, что пло­щадь по­верх­но­сти шара в раза боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти боль­шо­го круга.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

10. B 10. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды , равен 1. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Вариант № 3711050

1. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 6.

Ответ: 6

2. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Умно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 10 000:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

3. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если , а .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 6.

Ответ: 6

4. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 36.

Ответ: 36

5. B 11. Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 71.

Ответ: 71

6. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 31.

Ответ: 31

7. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1,4.

Ответ: 1,4

8. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 15.

Ответ: 15

9. B 11. Най­ди­те , если при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 0.

Ответ: 0

10. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

 

Вариант № 3711101

1. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 16.

Ответ: 16

2. B 11. Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на :

 

.

Тогда

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

3. B 11. Най­ди­те , если при .

Ре­ше­ние.

По­ка­жем, что чис­ли­тель дроби равен зна­ме­на­те­лю:

 

 

Таким об­ра­зом,

 

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

4. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -2.

Ответ: -2

5. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

В силу пе­ри­о­дич­но­сти ко­си­ну­са и сим­мет­рич­но­сти си­ну­са , . Далее ис­поль­зу­ем фор­му­лы при­ве­де­ния:

.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

6. B 11. Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем: . Тогда

.

Ответ: -17.

Ответ: -17

7. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

8.B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

Ре­ше­ние.

В силу не­чет­но­сти и пе­ри­о­дич­но­сти си­ну­са . Далее по фор­му­лам при­ве­де­ния имеем:

 

.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

9. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1,4.

Ответ: 1,4

10. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

 

Вариант № 3711111

1. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

2. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 0.

Ответ: 0

3. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 31.

Ответ: 31

4. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

 

.

Ответ: 27.

Ответ: 27

5.B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов:

 

.

 

Ответ: 333.

Ответ: 333

6. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

7. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

8. B 11. Най­ди­те , если

Ре­ше­ние.

Поль­зу­ем­ся пе­ри­о­дич­но­стью тан­ген­са и ис­поль­зу­ем фор­му­лу при­ве­де­ния:

Ответ: −2,5.

Ответ: -2,5

9. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 5.

Ответ: 5

10. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

 

Вариант № 3711151

1. B 11. Най­ди­те , если , при .

Ре­ше­ние.

По­ка­жем, что чис­ли­тель дроби равен зна­ме­на­те­лю:

 

 

Таким об­ра­зом,

 

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

2. B 11. Най­ди­те , если и .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку угол альфа лежит в четвёртой чет­вер­ти, его тан­генс от­ри­ца­те­лен. По­это­му

.

Ответ: -3.

Ответ: -3

3. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

4. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 121.

Ответ: 121

5. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 18.

Ответ: 18

6. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

7. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 3.

Ответ: 3

8. B 11. Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -14.

Ответ: -14

9. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

10. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

 

Вариант № 3711173

1. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

2. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

3. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -5.

Ответ: -5

4. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

5. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 18.

Ответ: 18

6. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

7. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

8. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

9. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 9.

Ответ: 9

10. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

 

 

Вариант № 3711196

1. B 11. Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

Спо­соб 1: . Тогда:

 

.

Спо­соб 2: По­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на :